Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:18 14 sep 2010; Blanca (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Concepto de sólido rígido
2 Condición de rigidez
3 Grados de libertad
4 Campo de velocidades
5 Invariantes del movimiento
6 Estado de reposo
7 Movimiento de traslación
- 7.1 Traslación permanente
8 Movimiento de rotación
- 8.1 Movimiento con un punto fijo
- 8.2 Movimiento con un eje fijo
9 Movimiento helicoidal
10 Caso general
11 Campo de aceleraciones
12 Problemas

1 Concepto de sólido rígido

Una vez descrito el sistema más sencillo, formado por una sola partícula, podemos pasar a sistemas más complejos, considerándolos formados por un agregado de partículas interactuantes.

Existen toda una serie de leyes generales y teoremas de conservación para sistemas de partículas, pero aquí nos centraremos en un agregado muy concreto, que es el modelo denominado sólido rígido.

Los sistemas macroscópicos suelen clasificarse en diferentes estados de la materia: sólidos, líquidos, gases y plasmas. De estos, los tres últimos se agrupan conjuntamente en el concepto de fluidos, por oposición a los sólidos.

La diferencia entre un fluido y un sólido es que mientras el fluido se adapta a la forma del recipiente que lo contiene, el sólido no lo hace. También se distinguen en su comportamiento cuando se ejerce una fuerza tangente a su superficie (fuerza de cizalla). Un fluido adquiere una velocidad en la dirección de la fuerza (velocidad dependiente de la viscosidad del fluido), mientras que un sólido se deforma en dicha dirección.

Todos los sólidos son deformables cuando se aplica una fuerza sobre ellos, y el grado con que lo hacen se mide por su elasticidad. En el caso de un resorte, esta deformabilidad se mide con la constante de recuperación que aparece en la ley de Hooke.

Cuanto menor es la compresibilidad de un sólido (o mayor su constante de recuperación) más indeformable es, más fuerza es necesaria para conseguir una dilatación dada. Por ejemplo, de acuerdo con la ley de Hooke, el estiramiento de un resorte viene dado por

$\Delta \vec{r}=\frac{\vec{F}}{k}$

cuando $k\to\infty$ la deformación tiende a cero, sea cual sea la fuerza aplicada.

Un primer estudio de los sólidos consiste, por tanto, en hacer el modelo de sólido completamente indeformable, o sólido rígido.

2 Condición de rigidez

Matemáticamente, un sólido rígido se caracteriza por ser un sistema de partículas tal que la distancia entre cada par de partículas que lo componen permanece constante en cada momento

$\left|\vec{r}_i-\vec{r}_k\right|=d_{ik}=\mathrm{cte}$

Elevando al cuadrado

$\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=d_{ik}^2 =\mathrm{cte}$

y derivando esta expresión respecto al tiempo obtenemos una condición sobre las velocidades

$0 = 2\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t}\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=2\left(\vec{v}_i-\vec{v}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)$

El vector

$\vec{u}_{ik}=\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{\left|\vec{r}_i-\vec{r}_k\right|}$

es el unitario en la dirección de la recta que une los dos puntos, por lo que la condición de rigidez implica

$\vec{v}_i\cdot\vec{u}_{ik}=\vec{v}_k\cdot\vec{u}_{ik}$

¿Cómo se interpreta este resultado? El producto escalar de un vector por un unitario es la proyección de dicho vector en la dirección del unitario. Por tanto, la condición de rigidez implica que, dadas dos partículas, $i$ y $k$ , la proyección de sus respectivas velocidades sobre la recta que es la une es la misma. Por ello se dice que el campo de velocidades es equiproyectivo.

El que las dos proyecciones sean iguales quiere decir que la componente de las velocidades en esa dirección es la misma; las dos partículas avanzan o retroceden a lo largo de esa línea en igual medida, manteniendo su distancia relativa.

Otra forma de verlo es considerar que $\vec{v}_i-\vec{v}_k$ es la velocidad de la partícula $i$ respecto a la $k$ , y la condición de rigidez

$(\vec{v}_i-\vec{v}_k)\cdot\vec{u}_{ik} = 0$

nos dice que la velocidad relativa de una partícula respecto a otra es siempre perpendicular a la recta que las une. Si nos montamos en una partícula del sólido lo que vemos es que todas las demás partículas ni se acercan ni se alejan, sino que giran en torno a la posición que nos encontremos.

3 Grados de libertad

El número de grados de libertad de un sistema se define como el número de coordenadas del sistema menos el número de ligaduras independientes que relacionan dichas coordenadas. En muchos casos el número de grados de libertad equivale al número de variables necesarias para describir el movimiento del sistema.

¿Cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido? El número de coordenadas es 3N, siendo N el número de partículas. En un sólido macroscópico este número es gigantesco, pero es claro que para describir el movimiento de un sólido no necesitamos tantas variables, ya que la condición de rigidez impone muchos vínculos.

Para ver el número de variables necesarias consideramos primero una sola partícula. Para dar su posición necesitamos 3 variables, por ejemplo, sus coordenadas cartesianas.

Situamos ahora la segunda partícula. Su posición tiene 3 coordenadas, pero una de ellas es conocida, ya que sabemos que la distancia a la primera partícula es constante. La posición de la segunda partícula se encuentra sobre una esfera de radio $d 12$ alrededor de la primera y para dar una posición sobre una esfera solo necesitamos 2 variables.

La tercera partícula se encuentra a una distancia $d 13$ de la primera y a una distancia $d 23$ de la segunda, por lo que solo necesitamos 1 variable para localizarla.

Para la cuarta y siguientes, la distancia a las tres primeras nos define de forma unívoca su posición, por lo que no precisamos variables adicionales.

Por tanto, el número de grados de libertad de un sólido rígido es 3+2+1 = 6. Dando seis datos, que pueden ser diferentes según las circunstancias, podemos describir de manera completa la posición y el estado de movimiento de un sólido rígido.

4 Campo de velocidades

Cuando un sólido se mueve, cada uno de sus puntos lo hará, en principio, con una velocidad diferente. Tenemos entonces que la distribución de velocidades forma un campo vectorial

$\vec{v}=\vec{v}(\vec{r})$

La velocidad de cada punto es un vector ligado a dicho punto y por tanto carece de sentido hablar de la “velocidad de un sólido”, como si fuera algo único. Podremos hablar de la velocidad de un punto del sólido, o en su caso, de la velocidad de su centro de masas, pero no de la velocidad del sólido como un todo.

La condición de rigidez impone limitaciones a las posibles distribuciones de velocidades. Solo aquellos movimientos que preservan las distancias entre los puntos son admisibles.

Puede demostrarse que la forma más general del campo de velocidades de un sólido (según el Teorema de Chasles) es

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}$

siendo $\vec{v}_0$ y $\vec{\omega}$ dos vectores independientes de la posición (pero no del tiempo; son vectores uniformes, pero no constantes). Aquí $\vec{r}$ es la posición respecto a un cierto punto O que tomamos como origen de coordenadas.

Si etiquetamos la posición del origen por O y la de un punto cualquiera por P, la forma general del campo de velocidades puede escribirse como

$\vec{v}^P = \vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

El que el campo de velocidades quede descrito conociendo las tres componentes de $\vec{v}^O$ y las tres de $\vec{\omega}$ se corresponde con el que el movimiento de un sólido rígido tenga 6 = 3+3 grados de libertad.

No es esta la única forma de determinar la velocidad de cada punto. También podemos:

Dar la velocidad angular (3 datos), la orientación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (2 datos) y la velocidad de deslizamiento a lo largo de este eje (1 dato).
Dar la velocidad de tres puntos no colineales del sólido (9 datos), sometidos a los 3 vínculos de que las distancias entre ellos permanecen constantes.

Un aspecto hay que remarcar no una, sino cada vez que se emplea la fórmula anterior: está expresión sólo nos da la distribución de velocidades en un instante dado. Nos da una instantánea del movimiento. Pero, dado que $\vec{v}^O$ y $\vec{\omega}$ son funciones del tiempo, la fórmual no nos dice dónde van a estar las partículas un intervalo de tiempo después. El movimiento de un sólido puede ser extremadamente complicado.

5 Invariantes del movimiento

En la expresión general del campo de velocidades de un sólido

$\vec{v}^P = \vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

destaca un punto O, respecto al que se miden los vectores de posición. Este punto se denomina centro de reducción. ¿Cómo cambia la expresión del campo de velocidades si elegimos un punto diferente, A, como centro de reducción? Si

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$

resulta, sustituyendo

$\vec{v}^P = (\vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA})+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}=\vec{v}^A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}$

esto es, que la expresión resultante es análoga a la original, sin más que sustituir $\vec{v}^O$ por la velocidad del nuevo centro de reducción.

Comparando las expresiones correspondientes a diferentes centros de reducción, observamos que hay ciertas cantidades que tienen el mismo valor para todos ellos. Estas cantidades se denominan invariantes:

Primer invariante (velocidad angular): El vector $\vec{\omega}$ que aparece en la expresión general del campo de velocidades es la misma para todos los centros de reducción, por ello no lleva ningún tipo de superíndice. Este vector es equivalente a un vector libre. Más adelante precisaremos su significado físico.

Segundo invariante (velocidad de deslizamiento): Para todos los puntos del sólido, la componente de la velocidad en la dirección de la velocidad angular es la misma para todos los puntos:

$\mathrm{proy}_\parallel \vec{v}^P = \frac{\vec{v}^P\cdot\vec{\omega}}{\omega}=\frac{\vec{v}^O\cdot\vec{\omega}}{\omega}= \mathrm{proy}_\parallel \vec{v}^O$

6 Estado de reposo

El caso más simple de estado de movimiento es el que tiene

$\vec{v}^O = \vec{0}$ $\vec{\omega}=\vec{0}$

En este caso todos los puntos del sólido se encuentran en reposo:

$\vec{v}^P = \vec{0}$

Equivalentemente, este estado de reposo se puede enunciar diciendo que si tres puntos no colineales de un sólido se encuentran en reposo, entonces todos los demás también están en reposo.

7 Movimiento de traslación

Un movimiento de traslación se caracteriza porque la velocidad angular es nula:

$\vec{\omega}=\vec{0}$

En este caso, el campo de velocidades se reduce a

$\vec{v}^P=\vec{v}^O$

esto es, todos los puntos del sólido se mueven con la misma velocidad instantánea. Cuando esto ocurre se dice que el sólido experimenta un movimiento de traslación.

Si fijamos un sistema de ejes al sólido, estos mantienen su orientación en un movimiento de traslación.

Equivalentemente, el movimiento de traslación se puede enunciar afirmando que si tres puntos no colineales del sólido tienen la misma velocidad, todos los demás también tienen la misma.

Hay que insistir en que hablamos de velocidades instantáneas y del movimiento relativo de los diferentes puntos del sólido. Un movimiento de traslación NO significa que el sólido se mueve en línea recta, o a velocidad constante.

Por ejemplo, consideremos el movimiento de un vagón de una noria. Puesto que éste no se da la vuelta, sino que conserva en todo momento su orientación vertical, llegamos a la conclusión de que el sólido experimenta un movimiento de traslación. Cada uno de sus puntos se mueve en cada instante con la misma velocidad que el resto de los puntos, aunque esta velocidad sea cambiante.

7.1 Traslación permanente

En el caso más restrictivo

$\vec{\omega}=\vec{0} \quad \forall t$

implica un movimiento de traslación permanente: los ejes ligados al sólido conservan su orientación en cada instante y el movimiento de cada uno de los puntos del sólido reproduce exactamente el de cualquier otro de ellos.

Este movimiento no tiene por qué ser ni rectilíneo ni uniforme. Como en el caso de la noria, es posible que cada uno de los puntos escriba una circunferencia en torno a un centro (siendo este centro diferente para cada punto del sólido).

8 Movimiento de rotación

Artículo completo: Rotación instantánea de un sólido rígido

Supongamos ahora que

$\vec{v}^P = \vec{0}$

de forma que la velocidad instantánea de cada punto se reduce a

$\vec{v}^P=\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

Esta forma del campo de velocidades posee una serie de propiedades que lo identifican como movimiento de rotación:

Existe una línea recta (eje instantáneo de rotación, EIR) cuyos puntos poseen velocidad nula
El EIR pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección dada por $\vec{\omega}$ .
La velocidad de que cualquier otro punto es perpendicular al eje de rotación.
Todos los puntos a la misma distancia del eje poseen la misma celeridad.
La celeridad de cada punto es proporcional a su distancia al eje.
El sentido de las velocidades cumple la regla de la mano derecha respecto al vector $\vec{\omega}$ .

Alternativamente, el movimiento de rotación se puede caracterizar a partir del estado de dos puntos cuya velocidad es nula y un tercero, P, no colineal con ellos, con velocidad no nula, $\vec{v}^P$ . En ese caso el resto del campo de velocidades es el de una rotación pura con eje el que pasa por los dos primeros puntos y con velocidad angular de módulo $v P / d$ siendo $d$ la distancia de P a la recta que psa por los otros dos.

Al estudiar el movimiento de rotación y describir las velocidades según la ley se puede adquirir la idea errónea de que las partículas del sólido describe un movimiento circular. Eso NO es correcto. Lo que hemos hecho es describir la distribución instantánea de velocidades, esto es, que velocidad tiene cada punto del sólido en un instante dado, pero no hemos analizado cómo se mueve cada punto a lo largo del tiempo (en términos llanos, hemos tomado una fotografía, no una película de vídeo).

Consideremos el caso de un cilindro que rueda sobre el suelo. La línea de contacto esta formada por puntos con velocidad nula y por tanto se trata de un eje instantáneo de rotación. El cilindro está efectuando una rotación pura instantánea en torno a esta línea de contacto (y no respecto al eje del cilindro, como podría pensarse), pero la trayectoria de cada punto del cilindro no es una circunferencia, sino una cicloide (técnicamente, para los puntos que no son de la superficie exterior es una hipocicloide).

La razón es que aunque instantáneamente esté rotando en torno a esta línea, el eje de rotación va cambiando en el tiempo.

8.1 Movimiento con un punto fijo

Supongamos el caso particular $\vec{v}^O=\vec{0}\qquad\forall t$

En este caso tenemos un punto O para el cual la velocidad es siempre nula y, por tanto, se encuentra permanentemente en reposo.

El movimiento del sólido es, en cada instante una rotación en torno a un eje que pasa por este punto.

No podemos asegurar que haya más puntos permanentemente en reposo, ya que la orientación del eje de giro puede cambiar con el tiempo haciendo que los puntos instantáneamente en reposo sean diferentes en cada momento. La trayectoria de cada punto individual puede ser extremadamente complicada. NO describen una circunferencia.

El ejemplo típico de movimiento de un sólido con un punto fijo es el balanceo de una peonza o de un giróscopo.

8.2 Movimiento con un eje fijo

Supongamos el caso aun más restrictivo

$\vec{v}^O=\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}=\omega(t)\vec{k}\qquad\forall t$

esto es, la velocidad angular, aunque variable en módulo, posee siempre la misma dirección.

En este caso, el eje de rotación es siempre el mismo y todos sus puntos están permanentemente en reposo. Se dice entonces que tenemos un movimiento con un eje fijo (eje permanente de rotación), y que el sólido es un rotor.

Este es el típico movimiento de un sólido ensartado a un eje permanente. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).

Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.

9 Movimiento helicoidal

Artículo completo: Movimiento helicoidal de un sólido rígido

Consideremos ahora el caso más general en que ni $\vec{v}^O$ ni $\vec{\omega}$ son nulos, pero sí paralelos:

$\vec{v}^O = \alpha\vec{\omega}$

Este campo de velocidades posee una serie de propiedades:

Existe una recta, paralela a la velocidad angular, tal que la velocidad de sus puntos posee módulo mínimo y dirección la de la propia recta (eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento, EIRMD).
El EIRMD pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección de la velocidad angular.
Todos los puntos situados a la misma distancia de este eje poseen la misma celeridad.
La proyección de la velocidad de cada punto sobre la velocidad angular es la misma para todos los puntos.
La velocidad de todos los puntos situados a la misma distancia forma el mismo ángulo con la velocidad angular.
El sentido de la velocidad cumple la regla de la mano derecha respecto a la velocidad angular.

10 Caso general

Por último, supongamos el caso general, con $\vec{v}^O$ y $\vec{\omega}$ arbitrarios, nulos o no y paralelos o no, de forma que la velocidad de un punto P tiene la forma

$\vec{v}^P = \vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

Salvo en el caso trivial $\vec{\omega}=\vec{0}$ , que ya hemos visto que se trata de una traslación, este movimiento general se reduce a un movimiento helicoidal, que contiene como caso particular a la rotación pura.

Para cada punto P su velocidad es la suma de una componente en la dirección paralela a la velocidad angular y una ortogonal a ella. De acuerdo con la fórmula general

$\vec{v}^P_\parallel = \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v}^P)}{\omega^2}$ $\vec{v}^P_\perp = -\frac{\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{v}^P)}{\omega^2}$

La componente paralela es la misma para todos los puntos: Es el conocido como segundo invariante:

$\vec{v}^P_\parallel = \vec{v}^O_\parallel$

La componente perpendicular se anula en un cierto eje: Sustituyendo el campo de velocidades en la expresión de la velocidad normal obtenemos

$\vec{v}^P_\perp = \vec{\omega}\times\left(\overrightarrow{OP}-\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{\omega^2}\right)$

Esta cantidad se anula en los puntos

$\overrightarrow{OA}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}$

Por tanto, para los puntos situados sobre esta recta la celeridad es solo la componente paralela (igual para todos) y la dirección es la dada por la velocidad angular

$\vec{v}^A=\vec{v}^A_\perp = \frac{(\vec{v}^O\cdot\vec{\omega})\vec{\omega}}{\omega^2}$

Esta recta es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento de este movimiento. Si tomamos como centro de reducción un punto de este eje, el campo de velocidades se reduce a

$\vec{v}^P = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}$ $\vec{v}^A \times\vec{\omega}=\vec{0}$

que, dependiendo del valor del segundo invariante, corresponde a:

Rotación pura: Si $\vec{v}^P\cdot\vec{\omega}=0$ la velocidad de deslizamiento es nula, y la única componente de la velocidad es la de rotación en torno al eje que pasa por A y lleva la dirección de $\vec{\omega}$ (eje instantáneo de rotación, EIR).

Movimiento helicoidal: Si $\vec{v}^P\cdot\vec{\omega}\neq 0$ el campo de velocidades se compone de una componente de avance en la dirección de $\vec{\omega}$ y una de rotación en torno al eje que pasa por A y lleva la dirección de $\vec{\omega}$ (eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento, EIRMD).

Considerando todos los casos conjuntamente, podemos hacer el siguiente esquema:

$\vec{\omega}$	$\vec{v}^O$	Estado
$=\vec{0}$	$=\vec{0}$	Reposo
$=\vec{0}$	$\neq\vec{0}$	Traslación
$\neq\vec{0}$	$=\vec{0}$	Rotación
$\neq\vec{0}$	$\perp\vec{\omega}$	Rotación
$\neq\vec{0}$	$\not\perp\vec{\omega}$	Helicoidal

11 Campo de aceleraciones

Derivando respecto al tiempo en la expresión del campo de velocidades obtenemos la aceleración de punto P

$\vec{a}_P = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^P}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}$

Siendo

$\frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{a}^O$ $\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\vec{\alpha}$ $\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\mathrm{d}t}=\vec{v}^P-\vec{v}^O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

llegamos a la expresión del campo de aceleraciones

$\vec{a}^P = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})$

A diferencia del campo de velocidades, el campo de aceleraciones no es equiproyectivo:

$(\vec{\alpha}^P-\vec{\alpha}^O)\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP}\cdot(\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})) = -\left|\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\right|^2$

Solo en el caso de traslación o reposo instantáneos se cumplirá la equiproyectividad.

Dos consideraciones prácticas.

El campo de aceleraciones requiere conocer tres vectores (esto es, 9 datos, frente a los 6 del campo de velocidades:
- La aceleración de un punto O, $\vec{a}^O$ .
- La velocidad angular instantánea, $\vec{\omega}$ .
- La aceleración angular, $\vec{\alpha}$ , derivada temporal de la velocidad angular.
La aceleración de un punto P solo se puede calcular derivando la velocidad, sólo si se conoce ésta como función del tiempo $\vec{v}^P(t)$ . Conocerla en un instante no es suficiente.