Ejemplo de diferentes estados de movimiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Condición de rigidez
3 Velocidad del origen
4 Movimiento de traslación
5 Movimiento de rotación
6 Movimiento helicoidal
7 Casos particulares

1 Enunciado

Los vectores de posición y las velocidades de tres puntos de un sólido son, en el SI,

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+a\vec{\jmath}+b\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & c\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+d\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&e\vec{\imath}+f\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array}$

¿Qué restricciones impone la condición de rigidez a los valores de las incógnitas $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ ?
Halle la velocidad del origen de coordenadas, $\vec{v}^O$ .
Halle los valores de estos parámetros si el sólido se encuentra en un estado de traslación instantáneo.
Establezca la condición que deben cumplir las constantes si el estado de movimiento es una rotación pura. En este caso, halle el valor de la velocidad angular y la posición del eje instantáneo de rotación.
En el caso de un estado de movimiento helicoidal, halle la velocidad angular, la velocidad de deslizamiento y la posición del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
Para los casos siguientes de los valores de los parámetros

Caso	a	b	c	d	e	f
I	2	4	2	4	0	0
II	1	2	3	0	2	4
III	2	2	2	2	2	2
IV	3	0	1	-1	4	4
V	0	1	4	3	3	1
VI	1	2	3	2	-1	1

Indique cuáles corresponden a movimientos rígidos.
En los casos rígidos, indique si son estados de traslación, rotación o movimiento helicoidal.
En los casos de rotación, halle la velocidad angular y el EIR.
En los casos helicoidales, halle la velocidad angular, la de deslizamiento y la posición del EIRMD.

2 Condición de rigidez

La condición cinemática de rigidez implica la equiproyectividad del campo de velocidades:

$\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}$

Aplicando esto a cada uno de los pares de puntos del enunciado tenemos, para los puntos A y B

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-2+a$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-c+2$ $\Rightarrow$ $a+c=4\,$

Repitiendo para A y C

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+\vec{k}$ $\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-2+b$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-e+2$ $\Rightarrow$ $b+e=4\,$

y para B y C

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{\jmath}+\vec{k}$ $\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=-2+d$ $\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-f$ $\Rightarrow$ $d+f=4\,$

Los parámetros deben cumplir las condiciones

$\begin{matrix} a&+&c & = & 4 \\ b&+&e & = & 4 \\ d&+&f & = & 4 \end{matrix}$

Podemos simplificar la notación haciendo

$a = 2+\gamma\qquad c = 2-\gamma$ $b = 2-\beta\qquad e = 2+\beta$ $d = 2+\alpha\qquad f = 2-\alpha$

de manera que las velocidades quedan

$\begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 2\vec{\imath}+(2+\gamma)\vec{\jmath}+(2-\beta)\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = & (2-\gamma)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+(2+\alpha)\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&(2+\beta)\vec{\imath}+(2-\alpha)\vec{\jmath}+2\vec{k} \end{array}$

Quedan aun tres parámetros por fijar, que dependerán del estado de movimiento del sólido.

3 Velocidad del origen

La velocidad del origen de coordenadas la obtenemos aplicando la equiproyectividad entre los pares formados por este punto y los tres que conocemos. Si

$\vec{v}^O = v^O_x \vec{\imath}+v^O_y\vec{\jmath}+v^O_z\vec{k}$

debe cumplirse

$\begin{matrix} \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA} &= & \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA}& \qquad\Rightarrow\qquad & v^O_x & = & 2 \\ \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB} &= & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB}& \qquad\Rightarrow\qquad & v^O_y & = & 2 \\ \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OC} &= & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{OC}& \qquad\Rightarrow\qquad & v^O_z & = & 2 \end{matrix}$

Reuniendo los tres resultados

$\vec{v}^O = 2 \vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$

4 Movimiento de traslación

En un movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven a la misma velocidad, lo que en este caso implica

$\vec{v}^A = \vec{v}^B = \vec{v}^C = \vec{v}^O=2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$

y por tanto

$\alpha=\beta=\gamma=0\,$

o, en términos de las variables iniciales

$a = b = c = d = e = f = 2\,$

5 Movimiento de rotación

5.1 Condición de rotación

Si el sólido experimenta una rotación pura, la velocidad de deslizamiento es nula, y por tanto para los tres puntos A, B y C, debe cumplirse

$\vec{v}^A\cdot\vec{\omega} = \vec{v}^B\cdot\vec{\omega} = \vec{v}^C\cdot\vec{\omega} = 0$

siendo $\vec{\omega}$ no nulo. Si la velocidad angular es perpendicular a la velocidad de B y de C, esto quiere decir que va en la dirección del producto vectorial de estos dos vectores, esto es,

$\vec{\omega}=\mu \vec{v}^B \times\vec{v}^C$

Llevando esto a la tercera ecuación tenemos

$\mu \vec{v}^A\cdot(\vec{v}^B \times\vec{v}^C) = 0$

Puesto que la velocidad angular no es nula, debe cumplirse la condición de que se anule el producto mixto

$\vec{v}^A\cdot(\vec{v}^B \times\vec{v}^C) = 0$

esto es, los tres vectores deben ser linealmente dependientes (pudiendo ser nulo alguno de ellos).

En este caso, esta condición significa que debe anularse el determinante

$\Delta = \left|\begin{matrix}2 & 2+\gamma & 2 -\beta \\ 2-\gamma & 2 & 2+\alpha \\ 2+\beta & 2-\alpha & 2\end{matrix}\right|=0$

Desarrollando el determinante llegamos a la ecuación

Δ = 2(α + β + γ) 2 = 0

que se reduce a

$\alpha + \beta + \gamma = 0\,$

Esta es la condición que debe cumplirse para que el movimiento sea de rotación. En términos de las variables originales es equivalente a

$a + d + e = b + c + f\,$

5.2 Velocidad angular

Podemos hallar la velocidad angular a partir de la relación general

$\vec{v}^P = \vec{v}^Q + \vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}$

Aplicándolo al par OA tenemos

$\vec{v}^A - \vec{v}^O = \gamma\vec{\jmath}-\beta\vec{k}$ $\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ 1 & 0 & 0\end{matrix}\right| = \omega_z\vec{\jmath}-\omega_y\vec{\imath}$

Igualando estas dos cantidades tenemos

$\omega_y = \beta\,$ $\omega_z = \gamma\,$

Operando igualmente con cualquiera de los otros pares posibles obtenemos

$\omega_x = \alpha\,$ $\Rightarrow$ $\vec{\omega} = \alpha\vec{\imath}+\beta\vec{\jmath}+\gamma\vec{k}$

En términos de las variables originales:

$\vec{\omega} = \frac{d-f}{2}\vec{\imath}+\frac{e-b}{2}\vec{\jmath}+\frac{a-c}{2}\vec{k}$

5.3 Eje instantáneo de rotación

Una vez que tenemos la velocidad angular y la velocidad de un punto, podemos hallar la posición del eje instantáneo de rotación usando la fórmula general

$\overrightarrow{OP}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{\omega^2}+\lambda\omega= \left(\frac{2(\beta-\gamma)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\alpha\right)\vec{\imath}+ \left(\frac{2(\gamma-\alpha)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\beta\right)\vec{\jmath}+ \left(\frac{2(\alpha-\beta)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\gamma\right)\vec{k}$

Una forma alternativa de llegar a este eje consiste en buscar aquellos puntos que tienen velocidad nula. Aplicando la equiproyectividad al par formado por un punto genérico P y el origen

$0 = \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{OP}= \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OP}=2x+2y+2z$

y al par formado por P y A

$0 = \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}=2(x-1)+(2+\gamma)y+(2-\beta)z$

Combinando estas ecuaciones obtenemos que el EIR se encuentra en la intersección de los planos

$x + y + z = 0\,$ $\gamma y - \beta z = 2\,$

Aunque solo dos de ellas son independientes.

6 Movimiento helicoidal

6.1 Condición de movimiento helicoidal

El movimiento helicoidal se dará cuando no se verifique la condición de rotación pura, esto es, cuando

$\alpha + \beta + \gamma \neq 0\,$

6.2 Velocidad angular

El procedimiento para hallr la velocidad angular es exactamente el mismo que enb el caso de la rotación pura, pues allí no empleamos la condición de que la velocidad de deslizamiento fuera cero. Aplicando la relación general

$\vec{v}^P = \vec{v}^Q + \vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}$

Al par OA y al par OB resulta

$\vec{\omega} = \alpha\vec{\imath}+\beta\vec{\jmath}+\gamma\vec{k}$

En términos de las variables originales:

$\vec{\omega} = \frac{d-f}{2}\vec{\imath}+\frac{e-b}{2}\vec{\jmath}+\frac{a-c}{2}\vec{k}$

6.3 Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento la hallamos proyectando la velocidad de un punto sobre la velocidad angular. En este caso el punto más simple es el origen de coordenadas

$v_d = \frac{\vec{v}^O\cdot\vec{\omega}}{\omega} = \frac{2(\alpha+\beta+\gamma)}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}$

vemos que esta velocidad se anula en el caso de una rotación pura. En forma vectorial

$\vec{v}_d = v_d\frac{\vec{\omega}}{\omega} = \frac{2(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\vec{\imath}+\beta\vec{\jmath}+\gamma\vec{k})}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}$

6.4 Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento

Aplicando, como en el caso de la rotación pura la fórmula general:

$\overrightarrow{OP}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{\omega^2}+\lambda\omega= \left(\frac{2(\beta-\gamma)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\alpha\right)\vec{\imath}+ \left(\frac{2(\gamma-\alpha)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\beta\right)\vec{\jmath}+ \left(\frac{2(\alpha-\beta)}{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}+\lambda\gamma\right)\vec{k}$

7 Casos particulares

Tenemos los casos:

Caso	a	b	c	d	e	f
I	2	4	2	4	0	0
II	1	2	3	0	2	4
III	2	2	2	2	2	2
IV	3	0	1	-1	4	4
V	0	1	4	3	3	1
VI	1	2	3	2	-1	1

7.1 Movimientos rígidos

Para que el movimiento sea rígido debe cumplirse la equiproyectividad lo que, como se ve más arriba, equivale en este caso a

$a+c = 4\qquad b + e = 4\qquad d + f = 4$

esto nos permite descartar los casos IV (porque $d + f = 3$ y VI (porque $b + e = 3$ y $d + f = 3$ ). Los cuatro restantes sí cumplen las condiciones y pueden ser movimientos rígidos.

7.2 Caso de traslación

Para que el movimiento del sólido sea de traslación, la velocidad de los puntos A, B y C debe ser la misma, lo que solo ocurre en el caso III.

7.3 Casos de rotación

En un movimiento de rotación debe cumplirse que la velocidad de deslizamiento sea cero. Según vimos, esto equivale a

$a + d + e = b + c + f\,$

Esta condición se cumple en los casos I ( $a + d + e = b + c + f = 6$ ) y V (también $a + d + e = b + c + f = 6$ ). También en el caso III, pero ese ya lo hemos catalogado como de traslación.

Caso I: En este caso la velocidad angular es

$\vec{\omega}=\frac{d-f}{2}\vec{\imath}+\frac{e-b}{2}\vec{\jmath}+\frac{a-c}{2}\vec{k} = 2\vec{\imath} -2\vec{\jmath}$

y el eje instantáneo de rotación

$\overrightarrow{OP}= \left(-\frac{1}{2}+2\lambda\right)\vec{\imath}+\left(-\frac{1}{2}-2\lambda\right)\vec{\imath}+\vec{k}$

o, en forma implícita

$x + y = -1\qquad z= 1$

Caso V: En este caso la velocidad angular es

$\vec{\omega}=\frac{d-f}{2}\vec{\imath}+\frac{e-b}{2}\vec{\jmath}+\frac{a-c}{2}\vec{k} = \vec{\imath} +\vec{\jmath}-2\vec{k}$

y el eje instantáneo de rotación

$\overrightarrow{OP}= \left(1+\lambda\right)\vec{\imath}+\left(-1+\lambda\right)\vec{\imath}+2\lambda\vec{k}$

o, en forma implícita

$x + y +z =0\qquad 2y-z= -2$

7.4 Caso de movimiento helicoidal

El caso restante, el II, es helicoidal pues ni se trata de una rotación ni de una traslación puras. La velocidad angular correspondiente a este movimiento es

$\vec{\omega}=\frac{d-f}{2}\vec{\imath}+\frac{e-b}{2}\vec{\jmath}+\frac{a-c}{2}\vec{k} = -2\vec{\imath} -\vec{k}$

La velocidad de deslizamiento es, en forma escalar

$v_d = \frac{2(-2-1)}{\sqrt{4+1}}=-\frac{6}{\sqrt{5}}$

El signo negativo indica aquí que va en sentido contrario a la velocidad angular. En forma vectorial

$\vec{v}_d = \frac{12}{5}\vec{\imath} +\frac{6}{5}\vec{k}$

El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento es

$\overrightarrow{OP}=\left(\frac{2}{5}-2\lambda\right)\vec{\imath}+\frac{2}{5}\vec{\jmath}+\left(\frac{-4}{5}-\lambda\right)\vec{k}$

Reuniendo todos los casos tenemos la tabla resumen

Caso	Tipo	$\vec{\omega}$	$\vec{v}^O$	$v d$
I	Rotación	$2\vec{\imath} -2\vec{\jmath}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$0$
II	Helicoidal	$-2\vec{\imath} -\vec{k}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-6/\sqrt{5}$
III	Traslación	$\vec{0}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$
IV	No rígido
V	Rotación	$\vec{\imath} +\vec{\jmath}-2\vec{k}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$0$
VI	No rígido