Clasificación de movimientos de un sólido (versión 2011)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, $m=100\,\mathrm{g}$ , situadas en los vértices de un cubo de lado $b=10\,\mathrm{cm}$ . En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en $\vec{r}_1=b\vec{\imath}$ , $\vec{r}_2=b\vec{\jmath}$ y $\vec{r}_3=b\vec{k}$

Caso	$\vec{v}_1$ (cm/s)	$\vec{v}_2$ (cm/s)	$\vec{v}_3$ (cm/s)
I	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k}$	$2\vec{k}$
II	$2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$	$2\vec{\imath}+4\vec{\jmath} + 2\vec{k}$
III	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$
IV	$2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}$	$\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}$	$4\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+2\vec{k}$
V	$2\vec{\imath}+\vec{k}$	$4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}$	$3\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$
VI	$2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$

Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.

2 Condición cinemática de rigidez

Para que una distribución de velocidades corresponda a un posible movimiento de un sólido rígido, debe satisfacer la condición cinemática de rigidez, que establece que para cada par de puntos la velocidad relativa debe ser ortogonal a la posición relativa

$\vec{v}_{ik}\cdot\vec{r}_{ik}\qquad\qquad\forall i,k$

o empleando las posiciones y velocidades medidas respecto a un sistema fijo

$(\vec{v}_{k}-\vec{v}_i)\cdot(\vec{r}_k-\vec{r}_i)= 0$

Para cada uno de los seis casos se cumple, midiendo las distancias en centímetros

$\left.\begin{array}{rcl}\vec{r}_1& =& 10\vec{\jmath}\,\mathrm{cm} \\ \vec{r}_2& =& 10\vec{\imath}\,\mathrm{cm}\end{array}\right\}\quad\vec{r}_{12}=\vec{r}_2-\vec{r}_1=10(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$

y análogamente

$\vec{r}_{13}=10(-\vec{\imath}+\vec{k})\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \vec{r}_{23}=10(-\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{cm}$

Comprobamos entonces la condición cinemática de rigidez para cada uno de los seis casos.

Así en el caso I se cumple:

$\left.\begin{array}{rcl}\vec{v}_1& =& (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} \\ \vec{v}_2& =& (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}\right\}\vec{v}_{12}=\vec{v}_2-\vec{v}_1=\vec{0}\,\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_{12}\cdot\vec{r}_{12} = 0$

Operando igualmente para el resto de pares y para el resto de casos queda la siguiente tabla:

	$\vec{r}_{12}$ (cm)	$\vec{r}_{13}$ (cm)	$\vec{r}_{23}$ (cm)
	$\vec{r}_{12}=10(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})$	$\vec{r}_{13}=10(-\vec{\imath}+\vec{k})$	$\vec{r}_{12}=10(-\vec{\jmath}+\vec{k})$
Caso	$\vec{v}_{12}$ (cm/s)	$\vec{v}_{13}$ (cm/s)	$\vec{v}_{23}$ (cm/s)	$\vec{v}_{12}\cdot\vec{r}_{12}$ (cm/s)	$\vec{v}_{13}\cdot\vec{r}_{13}$ (cm/s)	$\vec{v}_{23}\cdot\vec{r}_{23}$ (cm/s)
I	$\vec{0}$	$-2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}$	$-2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
II	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}$	$3\vec{\jmath}$	$-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
III	$\vec{0}$	$\vec{0}$	$\vec{0}$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
IV	$-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}$	$2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}$	$0\,$	$0\,$	$10\,$
V	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}$	$-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
VI	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}$	$-3\vec{\imath}$	$-4\vec{\imath}-\vec{\jmath}$	$0\,$	$30\,$	$40\,$

Vemos que el caso IV y el caso VI no cumplen la condición cinemática de rigidez y no pueden ser movimientos rígidos.

3 Caso general

En general, dada la velocidad de tres puntos no alineados, es posible determinar la velocidad del origen y la velocidad angular de cualquier sólido. Existen atajos que permiten caracterizar el movimiento como las propiedades siguientes:

Si tres puntos no alineados tienen la misma velocidad, el movimiento es de traslación.
Si dos tienen la misma velocidad y el tercero no, el movimiento es de rotación o helicoidal con eje uno paralelo a la recta que pasa por los dos puntos de la misma velocidad.

En este problema, no obstante, es sencillo determinar el campo de velocidades simplemente a partir del sistema de ecuaciones vectoriales

$\vec{v}_1 = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_1\qquad \vec{v}_2 = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_2\qquad \vec{v}_3 = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_3$

donde $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ son datos conocidos. Las incógnitas son las componentes de $\vec{v}_0$ y $\vec{\omega}$

Así, para la primera tenemos

$v_{1x}\vec{\imath}+v_{1y}\vec{\jmath}+v_{1z}\vec{k} = v_{1x}\vec{\imath}+v_{1y}\vec{\jmath}+v_{1z}\vec{k} + \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ b & 0 & 0 \end{matrix}\right|$

donde $b=10\,\mathrm{cm}$ es la arista del cubo. Desarrollando el producto vectorial y separando por componentes para los tres casos nos queda el sistema

$\left\{\begin{array}{rcl}v_{1x}& = & v_{0x} \\ v_{1y} & = & v_{0y}+\omega_z b \\ v_{1z} & = & v_{0z}-\omega_y b \end{array}\right.\qquad\qquad \left\{\begin{array}{rcl}v_{2x} & = & v_{0x}-\omega_z b \\ v_{2y}& = & v_{0y} \\ v_{2z} & = & v_{0z}+\omega_x b \end{array}\right.\qquad\qquad \left\{\begin{array}{rcl}v_{3x} & = & v_{0x}+\omega_y x \\ v_{3y}& = & v_{0y}-\omega_x b \\ v_{3z} & = & v_{0z} \end{array}\right.$

De las ecuaciones primera, cuarta y novena es inmediata la velocidad del origen

$v_{0x} = v_{1x}\qquad v_{0y}=v_{2y}\qquad \vec{v}_{0z}=v_{3z}\qquad \qquad \vec{v}_0=v_{1x}\vec{\imath}+v_{2y}\vec{\jmath}+v_{3z}\vec{k}$

Una vez que tenemos la velocidad del origen, podemos hallar las componentes de la velocidad angular sustituyendo $\vec{v}_0$ y despejando

$\omega_x = \frac{v_{2z}-v_{3z}}{b}=\frac{v_{2y}-v_{3y}}{b}\qquad \qquad \omega_y = \frac{v_{3z}-v_{1z}}{b}=\frac{v_{3x}-v_{1x}}{b}\qquad \qquad \omega_z = \frac{v_{1x}-v_{2z}}{b}=\frac{v_{1y}-v_{2y}}{b}$

El que haya dos expresiones para cada componente de la velocidad angular se debe a que las velocidades no son completamente independientes, sino que deben satisfacer la condición cinemática de rigidez. Si al hallar, por ejemplo $ω x$ por la primera fracción y por la segunda salieran valores diferentes, querría decir que las velocidades no pueden pertenecer a un sólido rígido (esta es otra forma de comprobar la condición de rigidez).

4 Clasificación de los movimientos

Aplicando esto a los cuatro casos que nos quedan obtenemos las siguientes velocidades para el origen y para la velocidad angular, así como para el producto escalar de estas dos:

Caso	$\vec{v}_{0}$ (cm/s)	$\vec{\omega}$ (rad/s)	$\vec{v}_{0}\cdot\vec{\omega}$ (cm/s²)
I	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$0.2\vec{\imath}-0.2\vec{\jmath}$	$0\,$
II	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-0.2\vec{\imath}-0.1\vec{k}$	$-0.6\,$
III	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{0}$	$0\,$
V	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$0.1\vec{\imath}+0.1\vec{\jmath}-0.2\vec{k}$	$0$

Los casos con velocidad angular distinta de cero, pero ortogonales a la velocidad del origen corresponden a rotaciones fijas. Las que no son ortogonales corresponden a movimientos helicoidales. Esto da la siguiente tabla de resultados

Caso	Estado
I	Rotación
II	Helicoidal
III	Traslación
IV	Imposible
V	Rotación
VI	Imposible

5 Ejes instantáneos

Los movimientos I y V son rotaciones y por tanto poseen un eje instantáneo de rotación (EIR); el movimiento II es helicoidal y posee un eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD). Existen varias formas de hallar las ecuaciones de los ejes:

Ecuaciones paramétricas: La ecuación para ambos tipos de ejes es la misma. Se localiza un punto del eje con la fórmula

$\vec{r}_I = -\frac{\vec{v}_0\times\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|^2}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{|\vec{\omega}|^2}$

y la ecuación del eje es la recta que pasa por este punto y lleva la dirección de la velocidad angular

$\vec{r}_E=\vec{r}_I+\lambda\omega$

Ecuaciones implícitas: En el caso de los movimientos de rotación pura es inmediato obtener las ecuaciones implícitas del EIR, ya que lo forman aquellos puntos que tienen velocidad nula, por lo que basta con hacer

$\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_E=\vec{0}$

En el caso de los movimientos helicoidales es un poco más complicado, ya que previamente hay que calcular la velocidad de deslizamiento con la que los puntos del eje avanzan a lo largo de él.

Aplicando esto a los tres casos posibles, nos queda:

5.1 Caso I

En este caso tenemos una rotación pura con velocidad del origen y velocidad angular

$\vec{v}_0=(2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad\vec{\omega}=(0.2\vec{\imath}-0.2\vec{\jmath})\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

y obtenemos el punto del eje

$\vec{r}_I=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{|\vec{\omega}|^2}=\frac{1}{0.08}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.2 & -0.2 & 0.0 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix}\right|\mathrm{cm} = (-5\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+10\vec{k})\mathrm{cm}$

La posición de un punto arbitrario del eje será entonces

$\vec{r}_E=\vec{r}_I +\lambda\omega = (-5\vec{\imath}-5\vec{\jmath}+10\vec{k})\mathrm{cm}+\lambda (0.2\vec{\imath}-0.2\vec{\jmath})\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Esto se puede abreviar haciendo $μ = 0.2λ$ y queda

$\vec{r}_E=((-5+\mu)\vec{\imath}+(-5-\mu)\vec{\jmath}+10\vec{k})\mathrm{cm}\qquad\left\{\begin{array}{rcl} x & = & (-5+\mu)\,\mathrm{cm}\\ y & = & -(5+\mu)\,\mathrm{cm}\\ z & = & 10\,\mathrm{cm}\end{array}\right.$

Alternativamente, por tratarse de una rotación pura, el eje se puede escribir en forma vectorial

$\vec{0}=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}=\vec{v}_0=(2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.2 & -0.2 & 0.0 \\ x & y & z \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

donde las coordenadas se miden en centímetros.

Desarrollando y separando por componentes quedan las ecuaciones implícitas

$\left\{\begin{array}{rcl} 2-0.2z & = & 0 \\ 2-0.2 z & = & 0 \\ 2+0.2x+0.2y & = & 0\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} x+y & = & -10\,\mathrm{cm} \\ z & = & 10\,\mathrm{cm} \end{array}\right.$

5.2 Caso II

En el segundo caso tenemos un movimiento helicoidal con velocidad del origen y angular

$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{\omega}=-0.2\vec{\imath}-0.1\vec{k}$

lo que nos da un punto del EIRMD

$\vec{r}_I=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{|\vec{\omega}|^2}=(-4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+8\vec{k})\,\mathrm{cm}$

y de aquí quedan las ecuaciones paramétricas del eje

$\vec{r}_E=\vec{r}_I+\lambda\vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}x & = & (-4+2\mu )\,\mathrm{cm} \\ y & = & -4\,\mathrm{cm} \\ z & = & (8+\mu)\,\mathrm{cm}\end{array}\right.\qquad\qquad(\mu = 0.1\lambda)$

5.3 Caso V

Por último, tenemos de nuevo una rotación con velocidades

$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{\omega}=0.1\vec{\imath}+0.1\vec{\jmath}-0.2\vec{k}$

Hallamos un punto del eje

$\vec{r}_I=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_0}{|\vec{\omega}|^2}=(10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}$

y las ecuaciones paramétricas del EIR

$\vec{r}_E=\vec{r}_I+\lambda\vec{\omega}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}x & = & (10+\mu )\,\mathrm{cm} \\ y & = & (-10+\mu)\,\mathrm{cm} \\ z & = & -2\mu\,\mathrm{cm}\end{array}\right.\qquad\qquad(\mu = 0.1\lambda)$

Alternativamente, por tratarse de una rotación pura,

$\vec{0}=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}=\vec{v}_0=(2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.1 & 0.1 & -2.0 \\ x & y & z \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Desarrollando y separando por componentes quedan las ecuaciones implícitas

$\left\{\begin{array}{rcl} 2+0.2y+0.1z & = & 0 \\ 2-0.2x-0.1z & = & 0 \\ 2-0.1x+0.1y & = & 0\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl} 2y+z & = & -20\,\mathrm{cm} \\ 2x+z & = & 20\,\mathrm{cm} \\ x-y & = & 20\,\mathrm{cm} \end{array}\right.$

donde las coordenadas se miden en centímetros. En este sistema, aunque haya tres ecuaciones, se comprueba fácilmente que la primera más la segunda es igual adoble de la tercera y por tanto, solo dos son linealmente independientes.

6 Propiedades del sistema de partículas

En los apartados anteriores hemos visto cómo a partir del conocimiento de la velocidad de tres puntos no alineados de un sólido puede determinarse la de cualquier otro punto del sólido, independientemente de la extensión o la naturaleza material de este.

Sin embargo, un sólido real posee una forma y extensión determinada, así como una masa, cantidad de movimiento y otras propiedades, para cuyo cálculo es preciso conocer detalles concretos de las dimensiones del sólido. En los apartados anteriores no se ha usado para nada el que en este caso en concreto el sólido esté formado por ocho masas iguales en los vértices de un cubo. Ello se usará ahora.

6.1 Masa total

Para todos los casos, la masa total del sólido es la misma

$M = \sum_i m_i = 8m=800\,\mathrm{g}$

6.2 Cantidad de movimiento

Podemos hallar la cantidad de movimiento del sólido sumando la de cada una de las partículas que lo componen

$\vec{p}=m_0\vec{v}_0+m_1\vec{v}_1+\cdots$

donde la velocidad de cada una de las partículas se calcula por la fórmula general

$\vec{v}_i = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_i$

Sin embargo, se puede hacer el cálculo de forma más sencilla aplicando que para un sistema de partículas

$\vec{p}=M\vec{v}_c$

siendo $\vec{v}_c$ la velocidad del centro de masas (CM) del sólido, que puede calcularse empleando la misma fórmula

$\vec{v}_c = \vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_c$

En este problema, para todos los casos, la posición del CM es la misma

$\vec{r}_c=\frac{m_0\vec{r}_0+m_1\vec{r}_1+\cdots}{M}=(5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+5\vec{k})\,\mathrm{cm}$

Por ser todas las masas iguales, la posición del CM es el centro del cubo.

Tenemos, entonces para los distintos movimientos posibles:

6.2.1 Caso I

La velocidad del CM es

$\vec{v}_c = (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.2 & -0.2 & 0.0 \\ 5 & 5 & 5 \end{matrix}\right|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\vec{k}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

y la cantidad de movimiento del sólido

$\vec{p}=M\vec{r}_c = \left(800\vec{\imath}+800\vec{\jmath}+3200\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} = \left(0.008\vec{\imath}+0.008\vec{\jmath}+0.032\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

6.2.2 Caso II

En el segundo caso, la velocidad del CM vale

$\vec{v}_c = (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -0.2 & 0.0 & -0.1 \\ 5 & 5 & 5 \end{matrix}\right|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(2.5\vec{\imath}+2.5\vec{\jmath}+\vec{k}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

resultando la cantidad de movimiento

$\vec{p}=M\vec{r}_c = \left(2000\vec{\imath}+2000\vec{\jmath}+800\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} = \left(0.020\vec{\imath}+0.020\vec{\jmath}+0.008\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

6.2.3 Caso III

En el movimiento de traslación, la velocidad del CM es la misma que la del resto de los puntos del sólido

$\vec{v}_c = \vec{v}_0=(2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

y la cantidad de movimiento vale

$\vec{p}=\left(1600\vec{\imath}+1600\vec{\jmath}+1600\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} = \left(0.016\vec{\imath}+0.016\vec{\jmath}+0.016\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

6.2.4 Caso V

Por último, para la última rotación

$\vec{v}_c = (2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.1 & 0.1 & -0.2 \\ 5 & 5 & 5 \end{matrix}\right|\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(3.5\vec{\imath}+0.5\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

obtenemos la cantidad de movimiento del sólido

$\vec{p}=M\vec{r}_c = \left(2800\vec{\imath}+400\vec{\jmath}+1600\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} = \left(0.028\vec{\imath}+0.004\vec{\jmath}+0.016\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

6.3 Momento cinético

Para el cálculo del momento cinético tenemos la fórmula general

$\vec{L}_O=m_0\vec{r}_0\times\vec{v}_0+m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+\cdots$

Sería de desear que pudiéramos usar una formula compacta como en el caso de la cantidad de movimiento. Sin embargo, la fórmula más parecida es

$\vec{L}_O=M\vec{r}_c\times\vec{v}_c+\vec{L}^{\,,}$

donde

$\vec{L}'=\sum_i m_i \vec{r}_i^{\,,}\times\vec{v}_i^{\,,}$

es el momento cinético respecto al centro de masas. Esta fórmula, sin embargo, no nos evita tener que hallar las velocidades de todas las partículas. La única simplificación que proporciona es que

$\vec{v}_i^{\,,} = \vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}'=\sum_i m_i \vec{r}_i^{\,,}\times\vec{\omega}\times\vec{r}_i^{\,,}$

Retornamos entonces a la fórmula original.

6.3.1 Caso I

Anotamos las posiciones de las ocho partículas y calculamos la velocidad de cada una usando la fórmula general

$\vec{v}_i=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}_i$

quedando

i	$\vec{r}_i$ (cm)	$\vec{v}_i$ (cm/s)	$m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i$ (kg·cm²/s)
0	$\vec{0}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{0}$
1	$10\vec{\imath}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k}$	$-4\vec{\jmath}+2\vec{k}$
2	$10\vec{\jmath}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+4\vec{k}$	$4\vec{\imath}-2\vec{k}$
3	$10\vec{k}$	$2\vec{k}$	$\vec{0}$
4	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+6\vec{k}$	$6\vec{\imath}-6\vec{\jmath}$
5	$10\vec{\imath}+10\vec{k}$	$4\vec{k}$	$-4\vec{\jmath}$
6	$10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$4\vec{k}$	$4\vec{\imath}$
7	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$6\vec{k}$	$6\vec{\imath}-6\vec{\jmath}$
Total			$20\vec{\imath}-20\vec{\jmath}$

o, en unidades fundamentales del sistema internacional

$\vec{L}_O=\left(0.002\vec{\imath}-0.002\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}$

6.3.2 Caso II

Tabulamos de nuevo las posiciones velocidades y momentos cinéticos

i	$\vec{r}_i$ (cm)	$\vec{v}_i$ (cm/s)	$m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i$ (g·cm²/s)
0	$\vec{0}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{0}$
1	$10\vec{\imath}$	$2\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-2\vec{\jmath}+\vec{k}$
2	$10\vec{\jmath}$	$3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$	$-3\vec{k}$
3	$10\vec{k}$	$2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}$
4	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}$	$3\vec{\imath}+\vec{\jmath}$	$-2\vec{k}$
5	$10\vec{\imath}+10\vec{k}$	$2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-3\vec{\imath}+3\vec{k}$
6	$10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}$	$-4\vec{\imath}+3\vec{\jmath}-3\vec{k}$
7	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}$	$-3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}$
Total			$-14\vec{\imath}+16\vec{\jmath}+4\vec{k}$

En unidades fundamentales del sistema internacional

$\vec{L}_O=\left(0.0014\vec{\imath}+0.0016\vec{\jmath}+0.0004\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}$

6.3.3 Caso III

El caso de la traslación es más sencillo que el resto, ya que la velocidad es la misma para todas las partículas y por tanto

$\vec{L}_O = \sum_i m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i= \left(\sum_i m_i\vec{r}_i\right)\times\vec{v}_0 = M\vec{r}_c\times\vec{v}_0$

lo que nos da

$\vec{L}_O=0.8(5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}+5\vec{k})\times(2\vec{\imath }+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}} = \vec{0}\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}$

El momento cinético es nulo por ser paralelas la velocidad de traslación y la posición del centro de masas.

6.3.4 Caso V

Por último tenemos

i	$\vec{r}_i$ (cm)	$\vec{v}_i$ (cm/s)	$m_i\vec{r}_i\times\vec{v}_i$ (g·cm²/s)
0	$\vec{0}$	$2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{0}$
1	$10\vec{\imath}$	$2\vec{\imath}+2\vec{k}$	$-2\vec{\jmath}$
2	$10\vec{\jmath}$	$4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}$	$3\vec{\imath}-4\vec{k}$
3	$10\vec{k}$	$3\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$-\vec{\imath}+3\vec{\jmath}$
4	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}$	$4\vec{\imath}+3\vec{k}$	$3\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-4\vec{k}$
5	$10\vec{\imath}+10\vec{k}$	$3\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}$	$\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}$
6	$10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$5\vec{\imath}+\vec{\jmath}+3\vec{k}$	$2\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-5\vec{k}$
7	$10\vec{\imath}+10\vec{\jmath}+10\vec{k}$	$5\vec{\imath}-\vec{\jmath}+3\vec{k}$	$4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-6\vec{k}$
Total			$12\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-20\vec{k}$

En unidades fundamentales del sistema internacional

$\vec{L}_O=\left(0.0012\vec{\imath}+0.0006\vec{\jmath}-0.0020\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}$

6.4 Energía cinética

Para la energía cinética tenemos la expresión

$K=\frac{1}{2}\sum_i m_i|\vec{v}_i|^2$

donde la suma es sobre todas las partículas del sistema. Afortunadamente no necesitamos volver a clacular todas las velocidades, pues ya las hemos hallado en el apartado anterior. Los resultados son

Caso I: La energía cinética vale, sustituyendo las velocidades y las masas

$K = 880\,\mu\mathrm{J}$

Caso II: Operando del mismo modo

$K = 640\,\mu\mathrm{J}$

Caso III: En este caso, por ser todas las velocidades iguales

$K = \frac{M}{2}|\vec{v}_0|^2 = 480\,\mu\mathrm{J}$

Caso V: Por último

$K = 860\,\mu\mathrm{J}$

Clasificación de movimientos de un sólido (versión 2011)

De Laplace

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