No Boletín - Disco con centro acelerado rodando sin deslizar (Ex.Ene/13)

De Laplace

1 Enunciado

Un disco de radio $R\,$ , contenido en todo instante en el plano $OXZ\,$ , rueda sin deslizar sobre el eje $OZ\,$ . El centro $C\,$ del disco avanza en el sentido negativo del eje $OZ\,$ (ver figura) con una celeridad linealmente creciente con el tiempo $|\vec{v}_C|=a\,t\,$ (donde $a\,$ es una constante positiva conocida). Para el instante $t\,$ , al cual corresponde la posición del disco representada en la figura, se pregunta:

¿Cuánto vale la velocidad angular instantánea $\vec{\omega}\,$ del disco?
¿Y la aceleración instantánea $\vec{a}_{A}\,$ del punto del disco que se halla en contacto con el eje $OZ\,\,$ ?

2 Velocidad angular instantánea

El hecho de que el disco permanezca siempre contenido en el plano $OXZ\,$ implica que su vector velocidad angular $\vec{\omega}\,$ es perpendicular a dicho plano (porque si hubiese componentes de velocidad angular paralelas al plano, éstas sacarían al disco del plano). Por tanto:

$\vec{\omega}=\omega\,\vec{\jmath}$

La velocidad del centro $C\,$ del disco constituye un dato del ejercicio, ya que se nos han especificado su módulo, su dirección y su sentido:

$\vec{v}_C=-at\,\vec{k}$

Por otra parte, se nos indica que el disco rueda sin deslizar sobre el eje $OZ\,$ . La ausencia de deslizamiento implica que el punto de contacto disco-eje tiene velocidad instantánea nula:

$\vec{v}_A=\vec{0}$

Conocemos, pues, las velocidades de los puntos $C\,$ y $A\,$ . Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades, deducimos el valor de la velocidad angular instantánea del disco:

$\left.\begin{array}{l} \vec{v}_A=\vec{0} \\ \\ \vec{v}_C=-at\,\vec{k} \end{array}\right\}\,\,\,\, \vec{v}_C=\vec{v}_A+\,\vec{\omega}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -at\,\vec{k}=\omega\,\vec{\jmath}\,\times R\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,-at=-\omega R \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\omega=\frac{at}{R}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}$

3 Aceleración instantánea del punto A

Al conocer la velocidad angular del disco como función del tiempo, podemos obtener la aceleración angular $\vec{\alpha}\,$ mediante derivación temporal:

$\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\!\left(\displaystyle\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{a}{R}\,\vec{\jmath}$

Análogamente, conocer la velocidad $\vec{v}_C\,$ del centro del disco como función del tiempo nos permite obtener la aceleración $\vec{a}_C\,$ derivando:

$\vec{a}_C=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(-at\,\vec{k}\,)}{\mathrm{d}t}=-a\,\vec{k}$

Por último, deducimos la aceleración instantánea $\vec{a}_{A}\,$ (del punto del disco que se halla en contacto con el eje $OZ\,\,$ ) relacionándola con la aceleración $\vec{a}_C\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones:

$\vec{a}_A=\vec{a}_C\,+\,\vec{\alpha}\,\times\,\overrightarrow{CA}\,+\,\vec{\omega}\,\times(\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{CA})=-a\,\vec{k}\,+\,\underbrace{\frac{a}{R}\,\vec{\jmath}\,\times(-R\,\vec{\imath}\,)}_{a\,\vec{k}}+\,\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\,\times\underbrace{\left[\frac{at}{R}\,\vec{\jmath}\,\times(-R\,\vec{\imath}\,)\right]}_{at\,\vec{k}}=\frac{a^2t^2}{R}\,\vec{\imath}$

Nota: Nótese que habríamos llegado a un resultado erróneo si hubiésemos tratado de obtener $\vec{a}_A\,$ mediante la derivación temporal de la velocidad $\vec{v}_A=\vec{0}\,$ . Pero... ¿por qué no sería correcto hacer esto y, sin embargo, hemos obtenido $\vec{a}_C\,$ derivando respecto al tiempo $\vec{v}_C=-at\,\vec{k}\,$ ? La razón es que $\vec{v}_A=\vec{0}\,$ es un valor puramente instantáneo de la velocidad del punto $A\,$ del disco, no es la velocidad de dicho punto como función del tiempo. De hecho, $\vec{v}_A\,$ sólo vale cero en el instante en el que el punto $A\,$ del disco se halla en contacto con el eje $OZ\,$ , pero no un segundo antes ni un segundo después. Por el contrario, $\vec{v}_C=-at\,\vec{k}\,$ es la velocidad del centro $C\,$ del disco como una función del tiempo.