F1 GIA SPC 2015, Esfera con movimiento en función del tiempo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una esfera de radio $a$ , se mueve en contacto con un plano $Π = O X 1 Y 1$ . El movimiento de la esfera queda completamente caracterizado, para todo instante de tiempo, por la reducción cinemática

$\begin{array}{c} \vec{\omega}(t) = \dfrac{v_0}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\left(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1\right) \\ \\ \vec{v}^C(t) = v_0\left[\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)\,\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right] \end{array}$

En qué instante(s) el movimiento de la esfera respecto del plano es una rotación pura instantánea?
En qué instante la velocidad del centro $C$ tiene módulo mínimo en el campo de velocidades de la esfera?
Aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano, en el instante $t 0 = 2 a / v 0$ ?
Calcula la aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición $D$ de contacto con el plano, en el instante $t 0 = 2 a / v 0$

2 Solución

2.1 Rotación pura instantánea

Para que el movimiento sea una rotación pura el invariante escalar debe ser cero y el vector rotación debe ser distinto de cero. El invariante escalar es

$\vec{\omega}\cdot\vec{v}^C = \dfrac{v_0^2}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right)^2 + \dfrac{v_0^2}{a}\,\left(1-\dfrac{v_0}{a}t\right) = \dfrac{v_0^2}{a} \,\left(\dfrac{v_0^2}{a^2}t^2-3\dfrac{v_0}{a}t + 2\right)$

Igualando a cero obtenemos dos posible soluciones

$t_1=\dfrac{2a}{v_0}\qquad t_2=\dfrac{a}{v_0}$

En la segunda solución, también se tiene $\vec{\omega}=\vec{0}$ , por lo que respuesta correcta es la primera

$t_1 = \dfrac{2a}{v_0}$

2.2 Velocidad con módulo mínimo en el campo de velocidades

Cuando esto se cumple, el punto $C$ debe estar en el eje instantáneo del movimiento. Para ello, los vectores $\vec{\omega}$ y $\vec{v}^C$ deben ser paralelos, esto es

$\vec{\omega}\times\vec{v}^C = \vec{0}$

Haciendo el producto vectorial llegamos a la expresión

$\vec{\omega}\times\vec{v}^C = \dfrac{v_0^3}{a}\,\left(t-\dfrac{v_0}{a}t^2\right)\,\vec{k}_1$

Este vector se anula para dos instantes de tiempo

$t_1 = 0, \qquad t_2 = \dfrac{a}{v_0}$

Igual que antes, para $t = t 2$ tenemos $\vec{\omega}(t_2)=\vec{0}$ . En este caso no hay velocidad mínima del campo de velocidades, pues no existe el eje instantáneo. La solución correcta es

$t = t 1 = 0$

2.3 Aceleración del punto $D$

Derivamos la reducción cinemática en $D$ . Tenemos

$\vec{\alpha} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{v_0^2}{a^2}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)$

Derivando la velocidad tenemos

$\vec{a}^C = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^C}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{v_0^2}{a}\,\vec{\imath}_1$

Evaluamos la reducción cinemática y su derivada en el instante $t = 2 a / v 0$ . Indicamos con el subíndice 0 los valores particulares en este instante de tiempo

$\begin{array}{l} \vec{\omega}_0 = -\dfrac{v_0}{a}\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1) \\ \vec{v}^C_0 = v_0\,(-\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1) \\ \vec{\alpha}_0 = -\dfrac{v_0^2}{a^2}\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1) \\ \vec{a}^C_0 = -\dfrac{v_0^2}{a}\,\vec{\imath}_1 \end{array}$

Los valores de $\vec{\alpha}_0$ y $\vec{a}^C_0$ son los mismos que hemos encontrado antes, pues la aceleración y la aceleración angular son vectores constantes