Movimiento de un sólido conocido un eje

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Valor de la constante
3 Velocidad angular instantánea
4 Velocidad del punto P
5 Solución alternativa

1 Enunciado

Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto $A (1,0, - 1)$ y lleva la dirección del vector $\vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}$ , de tal forma que la velocidad del punto $B (0,2,1)$ es $\vec{v}_B=-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k}$

Halle el valor de la constante $c$ .
Calcule la velocidad angular instantánea.
Calcule la velocidad del punto $P (1,1,0)$ .

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Valor de la constante

Por ser A un punto del eje instantáneo de rotación, EIR

$\vec{v}_A = \vec{0}$

y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica

$\vec{v}_B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante

$\vec{\omega}\parallel \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}$ $\Rightarrow$ $0 = \vec{v}_B\cdot\vec{e}=-8+12-c$ $\Rightarrow$ $c=4\,$

y resulta la velocidad para el punto B

$\vec{v}_B = -4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k}$

3 Velocidad angular instantánea

Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección

$\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)$

Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B

$\vec{v}_B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

siendo

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$

lo que nos da

$-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k} = \frac{\omega}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -1\\ -1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=\frac{\omega}{3}\left(-2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)$

Igualando componente a componente

$-4 = -\frac{2\omega}{3}$ $-6 = -\omega\,$ $4 = \frac{2\omega}{3}$

Las tres ecuaciones conducen a la misma solución

$\omega = 6\,$ $\Rightarrow$ $\vec{\omega}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}-2\vec{k}$

4 Velocidad del punto P

Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto P

$\overrightarrow{AP}=\vec{\jmath}+\vec{k}$ $\Rightarrow$ $\vec{v}_P = \overbrace{\vec{v}_A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -4 & -2\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right|=-2\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+4\vec{k}$

5 Solución alternativa

Los dos primeros apartados se pueden hacer de una sola vez, por aplicación del teorema de Chasles

$\vec{v}_B = \overbrace{\vec{v}_A}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

con

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$

Puesto que sabemos que la velocidad angular es paralela al vector $\vec{e}$

$\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)$

El teorema de Chasles se expresa en este caso

$-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k} = \left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ && \\ \dfrac{2\omega}{3} & -\dfrac{2\omega}{3} & -\dfrac{\omega}{3} \\ && \\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right| = -\frac{2\omega}{3}\vec{\imath} -\omega\vec{\jmath} +\frac{2\omega}{3}\vec{k}$

Igualando componente a componente

$-4 = -\frac{2\omega}{3}\qquad\qquad -6 = -\omega \qquad\qquad c = \frac{2\omega}{3}$

Las dos primeras son redundantes y dan

$\omega = 6\,$

y sustituyendo en la tercera

$c = 4\,$

Movimiento de un sólido conocido un eje

De Laplace

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1 Enunciado

2 Valor de la constante

3 Velocidad angular instantánea

4 Velocidad del punto P

5 Solución alternativa

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