4.8. Rodadura permanente de un disco
De Laplace
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1 Enunciado
La rodadura permanente de un disco de radio R sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades
donde la superficie horizontal se encuentra en y = − R.
- Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
- Suponiendo , calcule la aceleración de dichos puntos para el mismo instante.
2 Velocidades
Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente
- Punto A
- Su vector de posición relativa es
- por lo que su velocidad vale
- Punto B
- Punto C
- Punto D
Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.
Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:
3 Aceleraciones
La expresión general del campo de aceleraciones es
En este caso tenemos que la velocidad del punto O es constante, por lo que
También es nula la aceleración angular
lo que nos deja con
Desarrollando el doble producto vectorial
Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a
En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones