No Boletín - Dos partículas con distancia mutua constante (Ex.Jun/13)

De Laplace

1 Enunciado

Las partículas $A\,$ y $B\,$ se mueven en el plano $OXY\,$ de tal modo que su distancia mutua permanece constante a lo largo del tiempo:

$|\overrightarrow{BA}(t)|\equiv|\vec{r}_A(t)-\vec{r}_B(t)|=\mathrm{cte}$

Además, $B\,$ persigue a $A\,$ , es decir, el vector velocidad $\vec{v}_{B}$ tiene siempre la misma dirección que la recta imaginaria que pasa por $B\,$ y $A\,$ . En cierto instante, las posiciones de ambas partículas son $A(4,0)\,\mathrm{m}\,$ y $B(0,3)\,\mathrm{m}\,$ , y la velocidad de $A\,$ es $\vec{v}_{A}=20\,\vec{\imath}\,\,\mathrm{m/s}\,$ (ver figura).

¿Cuánto vale la celeridad de $B\,$ en dicho instante?

2 Solución

Dos partículas obligadas a mantener su distancia mutua constante a lo largo del tiempo constituyen el sólido rígido más simple de todos los posibles. Y, por tanto, sus velocidades habrán de satisfacer permanentemente la condición de equiproyectividad:

$\vec{v}_{B}(t)\cdot\overrightarrow{BA}(t)=\vec{v}_{A}(t)\cdot\overrightarrow{BA}(t)$

Particularizando esta condición para el instante considerado en el enunciado, vamos a ser capaces de responder la pregunta planteada.

El vector $\overrightarrow{BA}\,$ se calcula restándole las coordenadas del punto $B\,$ a las coordenadas del punto $A\,$ :

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,|\overrightarrow{BA}|=5\,\mathrm{m}$

Por otra parte, sabemos que la velocidad $\vec{v}_{B}\,$ tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector $\overrightarrow{BA}\,$ (porque $B\,$ persigue a $A\,$ ), lo cual nos permite identificar el producto escalar de estos dos vectores con el producto de sus respectivos módulos.

Teniendo esto en cuenta y exigiendo la equiproyectividad de velocidades en el instante de interés, comprobamos que se puede obtener fácilmente la celeridad del punto $B\,$ en dicho instante:

$\vec{v}_{B}\cdot\overrightarrow{BA}=\vec{v}_{A}\cdot\overrightarrow{BA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, |\vec{v}_{B}|\,|\overrightarrow{BA}|=\vec{v}_{A}\cdot\overrightarrow{BA}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, |\vec{v}_{B}|=\frac{\vec{v}_{A}\cdot\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}=\frac{20\,\vec{\imath}\cdot (4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)}{5}\,\mathrm{m/s}=16\,\,\mathrm{m/s}$

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