No Boletín - Identificación de movimiento a partir de reducción cinemática (Ex.Ene/15)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro de referencia OXYZ. En un instante dado, se conoce el vector velocidad angular del sólido y la velocidad de su punto $O(0,0,0)\,$ :

$\vec{\omega}=(-2\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{v}_O=(\,2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

¿Cuál es la velocidad de su punto $A(-2,1,2)\,\,\mathrm{m}\,\,$ ?
¿Qué tipo de movimiento instantáneo es?

2 Velocidad del punto A del sólido rígido

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad $\vec{v}_A\,$ del punto $A\,$ :

$\overrightarrow{OA}=(-2\,\vec{\imath}\,+\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m} \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}_A=\vec{v}_O\,+\,\,\vec{\omega}\,\times\,\overrightarrow{OA}=(2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,+\,\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right|=(2\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Obsérvese que se obtiene $\vec{v}_A=\vec{v}_O\,$ por estar los puntos $O\,$ y $A\,$ contenidos en una recta paralela a la velocidad angular del sólido ( $\overrightarrow{OA}\parallel\vec{\omega}\,$ ).

3 Tipo de movimiento instantáneo

A continuación, calculamos la velocidad de deslizamiento $v_d\,$ , que es la proyección de la velocidad de cualquier punto del sólido sobre la velocidad angular:

$v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\,\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(2\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\cdot(-2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|-2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=-\,\frac{4}{3}\,\,\mathrm{m/s}$

Conocidos los invariantes primero ( $\vec{\omega}\,$ ) y segundo ( $v_d\,$ ), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:

$\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}\neq\vec{0} \\ v_d\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\mathrm{HELICOIDAL}$

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