Ejemplo gráfico de movimiento plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Nota sobre unidades
3 Velocidad del origen
- 3.1 Condición de rigidez
- 3.2 Mediante el campo de velocidades
4 Centro instantáneo de rotación

1 Enunciado

En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)

En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?

2 Nota sobre unidades

En lo que sigue, todas las distancias se miden en cm, las velocidades en cm/s y las velocidades angulares en rad/s.

3 Velocidad del origen

Podemos hallar la velocidad del punto O:

Aplicando la condición cinemática de rigidez
Mediante la fórmula del campo de velocidades
Gráfica o analíticamente una vez localizado el CIR

3.1 Condición de rigidez

La velocidad del origen la podemos escribir como

$\vec{v}_O = v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath}$

Esta velocidad debe cumplir, junto con la del punto A, la condición de rigidez o de equiproyectividad

$\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}$

donde

$\overrightarrow{OA}=\vec{r}_A-\vec{r}_O=4\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{v}_A=-2\,\vec{\imath}$

lo que nos da una componente de la velocidad del origen

$\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}&=&(v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\jmath})= 4v_{Oy} \\ \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}&=&(-2\,\vec{\imath})\cdot(4\vec{\jmath})=0\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad v_{Oy}=0$

De manera análoga, tenemos, para el punto B

$\overrightarrow{OB}=\vec{r}_A-\vec{r}_O=4\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_B=2\,\vec{\imath}+4\vec{\jmath}$

y

$\left\{\begin{array}{rcl}\vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}&=&(v_{Ox}\vec{\imath}+v_{Oy}\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\imath})= 4v_{Ox} \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}&=&(2\,\vec{\imath}+4\vec{\jmath})\cdot(4\vec{\imath})=8\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad v_{Ox}=2$

Combinando los dos resultados podemos expresar la velocidad del origen en forma vectorial

$\vec{v}_O=2\vec{\imath}$

3.2 Mediante el campo de velocidades

Calculamos en primer lugar la velocidad angular. Puesto que se trata de un movimiento plano, la velocidad angular es ortogonal a él

$\vec{\omega}=\omega\vec{k}$

Relacionamos ahora las velocidades de A y B

$\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

siendo

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}$

lo que nos da

$2\vec{\imath}+4\vec{\jmath} = -2\vec{\imath}+(\omega\vec{k})\times(4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}) = (-2+4\omega)\vec{\imath}+4\omega\vec{\jmath}$

Igualando componente a componente

$2 = -2+4\omega\qquad\qquad 4 = 4\omega\qquad\Rightarrow\qquad \omega = 1$

Las dos ecuaciones tienen la misma solución, porque si no no se cumpliría la condición de rigidez. Por tanto

$\vec{\omega}=\vec{k}$

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos la velocidad del punto O a partir de la de A

$\vec{v}_O = \vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AO}=-2\vec{\imath}+(\vec{k}\times(-4\vec{\jmath})=(-2+4)\vec{\imath}=2\vec{\imath}$

4 Centro instantáneo de rotación

La posición del CIR la podemos determinar tanto analítica como geométricamente.

4.1 Determinación analítica

En un movimiento plano, la posición del CIR respecto a un punto A del que conocemos la velocidad es

$\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\vec{\omega}|^2}$

En nuestro caso, empleando la velocidad angular que ya calculamos

$\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times(-2\vec{\imath})}{1}=-2\vec{\jmath}$

Esta es la posición respecto al punto A. Respecto al origen de coordenadas será

$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}=4\vec{\jmath}-2\vec{\jmath} = 2\vec{\jmath}$

4.2 Determinación geométrica

Para hallar geométricamente la posición del CIR observamos que, para todo punto P se cumple

$\vec{v}_P = \vec{\omega}\times\overrightarrow{IP}$

la velocidad de cada punto es ortogonal al vector de posición relativo respecto al CIR.

Trazamos entonces las perpendiculares a las velocidades $\vec{v}_A$ y $\vec{v}_B$ por los puntos respectivos. El CIR se halla en la interesección de estas dos perpendiculares. En este caso este punto tiene por vector de posición