De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Reducciones cinemáticas en G
- 2.2 Momento angular y energía cinética

1 Enunciado

Un cilindro de radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ (sólido "1"). Los ejes $G X 2 Y 2 Z 2$ son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares $G X 0 Y 0 Z 0$ que cumplen las siguientes propiedades: el $X 0$ es paralelo al eje del cilindro; el eje $Z 0$ es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje $Y 0$ con el eje $X 1$ es $φ$ . El punto $A$ señala el punto geométrico en la vertical de $G$ donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son $x 1$ , $y 1$ . Estas son también las coordenadas de $G$ en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.

Encuentra la reducción cinemática en el punto $G$ de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.

2. Si el tensor de inercia del cilindro en $G$ es de la forma

$\overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{2} \end{array} \right]_2$

con $I 1$ , $I 2$ conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en $G$ y su energía cinética.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas en $G$

De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:

$\vec{v}^A_{21} = \vec{0}$ , pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
$\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0$ , pues el eje $Y 0$ forma un ángulo $φ$ con el eje $X 1$ .
$\vec{v}^G_{20}=\vec{0}$ , pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
$\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0$ , pues el eje $Y 2$ forma un ángulo $θ$ con el eje $Y 0$ .

Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas

2.1.1 Movimiento {21}

Obtenemos $\vec{\omega}_{21}$ de la composición

$\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.$

Como ya tenemos $\vec{v}^{A}_{21}=\vec{0}$ , aplicamos Chasles entre los puntos $A$ y $G$ para el movimiento {21}

$\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0)\times (R\,\vec{k}_0) = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.$

2.1.2 Movimiento {20}

Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado

$\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, \qquad \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.$

2.1.3 Movimiento {01}

Tenemos $\vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\,\vec{k}_0$ del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en $G$ usando las leyes de composición

$\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} \to \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,G}_{21} - \vec{v}^{\,G}_{20} = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.$

La velocidad $\vec{v}^{\,G}_{01}$ también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición

$\vec{r}^{\,G}_{01} = \overrightarrow{O_1G} = x_1\,\vec{\imath}_1 + y_1\,\vec{\jmath}_1 + R\,\vec{k}_1.$

Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos

$\vec{v}^{\,G}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{O_1G}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \dot{x}_1\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}_1\,\vec{\jmath}_1.$

Esta velocidad esta expresada en función de $x 1$ e $y 1$ - Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos $\vec{\jmath}_0$ en la base "1"

$\vec{\jmath}_0 = \cos\phi\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.$

Con esto tenemos

$\vec{v}^{\,G}_{01} = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0 = -R\dot{\theta}\cos\phi\,\vec{\imath}_1 -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1$

Comparando las dos expresiones de $\vec{v}^{\,G}_{01}$ obtenemos

$\dot{x}_1 = -R\dot{\theta}\cos\phi, \qquad \dot{y}_1 = -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\phi.$

2.2 Momento angular y energía cinética

El momento angular respecto al CM es

$\vec{L}_G = \overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}. \begin{array}{c}\end{array}$

Como el tensor está expresado en la base "2", hay que expresar el vector rotación en esa base. Tenemos

$\begin{array}{l} \vec{\imath}_0 = \vec{\imath}_2,\\ \vec{k}_0 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \cos\theta\,\vec{k}_2. \end{array}$

Entonces

$\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_2 + \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 + \dot{\phi}\cos\theta\,\vec{k}_2.$

El momento cinético es

$\vec{L}_G = \left[ \begin{array}{ccc} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{\theta} \\ \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \dot{\phi}\cos\theta \end{array} \right]_2 = [I_1\dot{\theta}, I_2 \dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta, I_2 \dot{\phi}\cos\theta ]_2.$

La energía cinética puede calcularse así

$T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}\, \left( (mR^2+I_1)\dot{\theta}^2 + I_2\dot{\phi}^2 \right).$

Cilindro rodando sin deslizar (Dic. 2020)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas en $G$

2.1.1 Movimiento {21}

2.1.2 Movimiento {20}

2.1.3 Movimiento {01}

2.2 Momento angular y energía cinética

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Cilindro rodando sin deslizar (Dic. 2020)

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2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas en G

2.1.1 Movimiento {21}

2.1.2 Movimiento {20}

2.1.3 Movimiento {01}

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2.1 Reducciones cinemáticas en $G$