No Boletín - Detección de invariantes (Ex.Feb/14)
De Laplace
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1 Enunciado
En el contexto de la cinemática del sólido rígido, se utiliza la palabra "invariante" en un sentido espacial (no temporal). Por eso, se denomina invariante a cualquier magnitud cuyo valor no varía de un punto a otro del sólido rígido.
¿Cuál de las siguientes magnitudes no es un invariante?
2) 
3) 
4) 
2 Primera magnitud propuesta
Averiguaremos si una magnitud es o no un invariante buscando la relación entre los valores que toma dicha magnitud en dos puntos arbitrarios (
y 
) del sólido rígido, para así poder comprobar si dichos valores son o no iguales entre sí.
Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido:
se comprueba que la primera magnitud propuesta (
) es un invariante:
![\vec{v}_{P}\cdot\vec{\omega}=\left[\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\omega}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega}+\underbrace{\left[\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\!\cdot\vec{\omega}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega}](/wiki/images/math/a/2/b/a2be90b04a790e4f2745b7e0324d1770.png)
3 Segunda magnitud propuesta
La segunda magnitud propuesta () es también un invariante. No hace falta demostrarlo porque es obvio que su valor no varía de un punto a otro del sólido rígido, y además se trata del primer invariante fundamental estudiado en la teoría del tema.
4 Tercera magnitud propuesta
Utilizamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido:
![\vec{a}_{P}=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\,\vec{\omega}\times\left[\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right]=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP}](/wiki/images/math/7/e/4/7e45fe8271c4fbba7bb1977e966b17c7.png)
para analizar si la tercera magnitud propuesta () varía o no de valor al pasar de un punto a otro del sólido rígido:
![\vec{a}_{P}\,\cdot\,\vec{\alpha}=\left[\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP}\right]\cdot\,\vec{\alpha}=\vec{a}_{Q}\,\cdot\,\vec{\alpha}\,+\underbrace{\left(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right)\!\cdot\vec{\alpha}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}+\underbrace{\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\left(\vec{\omega}\cdot\vec{\alpha}\right)\,-\,\left|\vec{\omega}\right|^2\left(\overrightarrow{QP}\cdot\vec{\alpha}\right)}_{\neq\, 0\,\,\mathrm{(en}\,\,\mathrm{general)}}](/wiki/images/math/c/6/c/c6cfd153f00d49c3783e6fa3948d82be.png)
Observamos que los dos últimos sumandos son no nulos en general, de modo que:
Por tanto, la tercera magnitud propuesta () no es un invariante. Ésta es la opción correcta conforme a la pregunta planteada en el enunciado.
5 Cuarta magnitud propuesta
Finalmente, nos queda comprobar que la cuarta magnitud propuesta () es un invariante. Utilizamos la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido para investigar el comportamiento ante un cambio de punto del primero de los dos sumandos que constituyen dicha magnitud:
y utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido para hacer lo propio con el segundo sumando de la magnitud:
![\vec{a}_{P}\,\cdot\,\vec{\omega}=\left[\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\vec{\omega}\times\!\left(\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right)\right]\cdot\,\vec{\omega}=\vec{a}_{Q}\,\cdot\,\vec{\omega}\,\,+\,\underbrace{\left(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right)\!\cdot\vec{\omega}}_{(**)}\,+\underbrace{\left[\,\vec{\omega}\times\!\left(\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right)\right]\!\cdot\vec{\omega}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}](/wiki/images/math/3/1/d/31d93d92d1eff86842f3cfe0b48b2b1b.png)
Obsérvese que los términos que hemos marcado como (*) y (**) son opuestos entre sí, ya que una permutación no cíclica en un producto mixto equivale a un cambio de signo. Por tanto, al sumar para recuperar la cuarta magnitud propuesta, los términos (*) y (**) se cancelan mutuamente permitiéndonos concluir que en efecto es un invariante:
