No Boletín - Cálculo de primer y segundo invariante (Ex.Ene/12)

De Laplace

1 Enunciado

Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido vienen dadas por:

Punto	$\vec{r}$ (m)	$\vec{v}$ (m/s)
A	$\vec{\imath}$	$3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}$
B	$\vec{\jmath}+\vec{k}$	$2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}$
C	$2\,\vec{k}$	$3\,\vec{\imath}+\vec{k}$

Calcule la velocidad angular del sólido rígido (primer invariante).
Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).

2 Cálculo de la velocidad angular

Podemos deducir el vector velocidad angular $\,\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,\,$ del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre $\vec{v}_B\,$ y $\vec{v}_A\,$ debe satisfacer la ecuación:

$\vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.\begin{array}{rcl} 2 & = & 3+\omega_y-\omega_z \\ 1 & = & 3-\omega_z-\omega_x \\ 2 & = & 1+\omega_x+\omega_y \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_y=\omega_z-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=2-\omega_z$

Y relacionando de forma análoga $\vec{v}_C\,$ y $\vec{v}_A\,$ , podemos culminar la deducción de $\vec{\omega}\,$ :

$\vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)=(3\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2-\omega_z & \omega_z-1 & \omega_z \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.\begin{array}{rcl} 3 & = & 3+2\omega_z-2 \\ 0 & = & 3-\omega_z-4+2\omega_z \\ 1 & = & 1+\omega_z-1 \end{array}\right\}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \omega_z=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_y=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega_x=1$

Por tanto, el vector velocidad angular (primer invariante) es:

$\vec{\omega}=(\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}$

3 Cálculo de la velocidad de deslizamiento

Y la velocidad de deslizamiento $v_d\,$ (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

$v_d=\frac{\vec{v}_C\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\cdot(\vec{\imath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{k}\,|}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,\,\mathrm{m/s}$

No Boletín - Cálculo de primer y segundo invariante (Ex.Ene/12)

De Laplace

1 Enunciado

2 Cálculo de la velocidad angular

3 Cálculo de la velocidad de deslizamiento

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES