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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15))
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Sean <math>\,\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,\,</math> dos vectores libres no nulos y no paralelos (<math>\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,</math>), pero con módulos iguales (<math>|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,</math>). ¿Qué relación existe con carácter general entre el vector diferencia <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\,</math> y el vector suma <math>(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>?
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Sean <math>\,\vec{a}\,</math> y <math>\vec{b}\,\,</math> dos vectores libres no nulos y no paralelos (<math>\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,</math>), pero con módulos iguales (<math>|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,</math>). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia <math>(\vec{a}-\vec{b}\,)\,</math> y el vector suma <math>(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>?
:(1) <math>\vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>
:(1) <math>\vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,</math>

Revisión de 02:14 1 ene 2006

Contenido

1 Expresión que carece de sentido

Si \,\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\, y \,\vec{d}\, son vectores libres, y \,\lambda\, es un escalar, ¿cuál de las cuatro siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?

(1) \frac{\lambda\,\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{c}\times\vec{d}\,|}
(2) \frac{\vec{a}\times\vec{b}}{(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)}
(3) \vec{a}\cdot[\vec{b}\times(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)]
(4) \vec{a}\times[(\vec{b}\times\vec{c}\,)+\lambda\,\vec{d}\,\,]

2 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

3 Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

(1) \,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(2) \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(3) \,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(4) \,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

4 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|.

5 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radiovector \vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}. Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI)

6 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(\gamma)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos α, β y γ.

7 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del producto vectorial de dos vectores unitarios en un plano, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos:

\begin{array}{rcl}\cos(\beta-\alpha) & = & \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta) \\ && \\ \mathrm{sen}(\beta-\alpha) & = &\cos(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta)-\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)\end{array}
Archivo:diferencia-angulos.png

8 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en A(3,1,1)\,
b) \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en B(1,2,0)\,
c) \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en C(-1,3,-1)\,
d) \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en D(-3,4,-1)\,
e) \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en E(7,5,3)\,

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

9 Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación x-2y+2z=0\, y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector \overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}. Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

10 Volumen de un paralelepípedo

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1). Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}.

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}.

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

11 Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de 14 m.

2) Ser ortogonal al vector (3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\, m.

3) Formar junto a los vectores \,\vec{\imath}\,\, m y \,\vec{k}\, m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m3.

12 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}        \vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:

  • El primer vector tiene la dirección y sentido de \vec{v}
  • El segundo vector está contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  • El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.

13 No Boletín - Aplicación de la regla del paralelogramo (Ex.Oct/14)

Las ternas de vectores \{\overrightarrow{AC}\,,\,\overrightarrow{AF}\,,\,\overrightarrow{AH}\,\}\, y \{\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}\,\}\, están asociadas al paralelepípedo de la figura. Corresponden, respectivamente, a las diagonales de vértice común de tres caras contiguas y a las tres aristas que concurren en ese mismo vértice. Observe que la regla del paralelogramo para la suma vectorial permite establecer relaciones entre los vectores de una y otra terna.

¿Cuál de las siguientes relaciones de equivalencia es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}
(2) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF})
(3) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH})
(4) \overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH})

14 No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)

¿Corresponde la siguiente fórmula al área del cuadrilátero ABCD\,?

\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|

15 No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

Si \,\vec{a}\,\, y \,\vec{b}\,\, son dos vectores libres que forman un ángulo \theta\, (siendo 0<\theta<\pi\,\,\mathrm{rad}\,), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores \,\vec{a}+\vec{b}\,\, y \,\vec{a}-\vec{b}\,\,?

16 No Boletín - Arista de un tetraedro (Ex.Oct/13)

El triángulo definido por los vectores \overrightarrow{OA}=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\, \mathrm{m}\, y \overrightarrow{OB}=2\,\vec{k}\,\,\mathrm{m}\, constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es 3\sqrt{2}\,\mathrm{m}\, y que C\, es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede definir la arista OC\, del tetraedro descrito?

(1) \overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(2) \overrightarrow{OC}=(\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(3) \overrightarrow{OC}=(\sqrt{2}\,\vec{\jmath}+3\sqrt{2}\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,
(4) \overrightarrow{OC}=(-2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,

17 No Boletín - Arista de un tetraedro II (Ex.Oct/15)

Los puntos \,O\,, A\,, B\, y C\,\, son los vértices de un tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a 1\,\mathrm{m}\,. Se elige el triedro cartesiano OXYZ\, de la figura, de tal modo que las aristas \,OA\, y OB\,\, del tetraedro quedan definidas por los vectores:

\overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OB}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{m}

Determine el vector \,\overrightarrow{OC}\,, por el que queda definida la arista OC\, del tetraedro.

18 No Boletín - Calcular el ángulo entre dos vectores

Halle el ángulo que forman los vectores

\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}

19 No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas

Sean las rectas r1, que pasa por los puntos A( − 2,5,1) y B(7, − 7,1), y r2 que pasa por C(5,4, − 3) y D(5,4,2) (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

20 No Boletín - Cálculo de la altura de un paralelepípedo (Ex.Jun/13)

Sea el paralelepípedo que tiene como aristas a los tres vectores siguientes: \overrightarrow{OA}=(2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OB}=(\vec{\imath}-\vec{k})\,\mathrm{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\,\vec{k})\,\mathrm{m}

¿Cuánto mide la altura de este paralelepípedo si se considera que su base es la cara que tiene como lados a \overrightarrow{OA}\, y \overrightarrow{OB}\,?

21 No Boletín - Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

22 No Boletín - Cálculo de una diagonal (Ex.Ene/13)

Sea el rombo cuyos lados quedan definidos por los vectores \vec{a}=(-\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\, y \vec{b}=(\sqrt{2}\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,. ¿Cuál es la longitud de su diagonal mayor?

23 No Boletín - Camino más corto entre dos rectas no paralelas (Ex.Oct/15)

Dadas dos rectas no paralelas: \,r_1\, (que pasa por el punto A\, y es paralela al vector \,\vec{a}\,) y \,r_2\, (que pasa por el punto B\, y es paralela al vector \,\vec{b}\,). ¿Cuál de los siguientes vectores coincide con el camino más corto que lleva desde \,r_1\, hasta \,r_2\,?

(1) \displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times \overrightarrow{AB}\,]\times(\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,
(2) \displaystyle\frac{[\,\overrightarrow{AB}\cdot (\vec{a}\times\vec{b}\,)]\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,
(3) \displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot \overrightarrow{AB}\,](\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,
(4) \displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot \overrightarrow{AB}\,](\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,

24 No Boletín - Camino más corto entre un punto y una recta (Ex.Oct/14)

En un sistema cartesiano OXYZ\, se define el punto P\, (de posición \overrightarrow{OP}=\vec{\imath}+\vec{k}\,) y la recta r\, (que pasa por el punto Q\, de posición \overrightarrow{OQ}=3\,\vec{\imath}+5\,\vec{k}\,, y es paralela al vector \vec{w}=3\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,). Determine el vector que coincide con el camino más corto que lleva desde el punto P\, hasta la recta r\,.

25 No Boletín - Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido no nulo, \vec{A}, y uno que se desea determinar, \vec{X}. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por \vec{A}

\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}

Determine el valor de \vec{X}. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar \vec{X}?

26 No Boletín - Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

27 No Boletín - Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

\vec{v}=2.0\,\vec{\imath}+3.5\,\vec{\jmath}-4.2\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\,\vec{\imath}-2.2\,\vec{\jmath}+1.5\,\vec{k}
  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba \vec{a} como suma de dos vectores, uno paralelo a \vec{v} y otro ortogonal a él.

28 No Boletín - Equivalencia entre dobles productos vectoriales (Ex.Sep/14)

Si \vec{a}\,, \vec{b}\, y \vec{c}\, son tres vectores libres arbitrarios, ¿cuál de los siguientes dobles productos vectoriales es equivalente a \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}\,)\,?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) \vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a}\,)
(2) (\vec{a}\times\vec{b}\,)\times\vec{c}
(3) (\vec{c}\times\vec{b}\,)\times\vec{a}
(4) \vec{a}\times(\vec{c}\times\vec{b}\,)

29 No Boletín - Expresión que carece de sentido II (Ex.Oct/14)

Si \,\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\, y \,\vec{d}\, son vectores libres, ¿cuál de las siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?

(NOTA: sólo una de las cuatro expresiones carece de sentido).

(1) (\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot(\vec{c}\times\vec{d}\,)
(2) (\vec{a}\cdot\vec{b}\,)+(\vec{c}\times\vec{d}\,)
(3) (\vec{a}\cdot\vec{b}\,)(\vec{c}\times\vec{d}\,)
(4) (\vec{a}\times\vec{b}\,)\times(\vec{c}\times\vec{d}\,)

30 No Boletín - La coplanariedad de tres vectores (Ex.Oct/13)

En un triedro cartesiano OXYZ\, se consideran los puntos A(-2,1,1)\,, B(0,3,1)\, y C(-1,q,2)\,. ¿Cuál es el valor de q\, si los vectores \overrightarrow{OA}\,, \overrightarrow{AB}\, y \overrightarrow{BC}\, son coplanarios?

31 No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)

En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores \overrightarrow{OA} y \overrightarrow{AB} son ortogonales?

32 No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}

siendo \vec{A}\neq \vec{0}, entonces \vec{B} = \vec{C}; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces \vec{B}\neq\vec{C}.

33 No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15)

Sean \,\vec{a}\, y \vec{b}\,\, dos vectores libres no nulos y no paralelos (\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,), pero con módulos iguales (|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia (\vec{a}-\vec{b}\,)\, y el vector suma (\vec{a}+\vec{b}\,)\,?

(1) \vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,
(2) (\vec{a}-\vec{b}\,)\parallel(\vec{a}+\vec{b}\,)\,
(3) |\,\vec{a}-\vec{b}\,|=|\,\vec{a}+\vec{b}\,|\,
(4) (\vec{a}-\vec{b}\,)\perp(\vec{a}+\vec{b}\,)\,

34 No Boletín - Volumen de un paralelepípedo II (Ex.Oct/14)

Sea \theta\, el ángulo formado por dos vectores libres \vec{a}\, y \vec{b}\,. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas vienen definidas por la terna \{\vec{a}\,,\,\vec{b}\,,\,\vec{a}\times\vec{b}\,\}\,?

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