No Boletín - Area de un paralelogramo (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Si $\,\vec{a}\,\,$ y $\,\vec{b}\,\,$ son dos vectores libres que forman un ángulo $\theta\,$ (siendo $0<\theta<\pi\,\,\mathrm{rad}\,$ ), ¿cuánto vale el área del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,\vec{a}+\vec{b}\,\,$ y $\,\vec{a}-\vec{b}\,\,$ ?

2 Solución

Conforme a una de las propiedades geométricas del producto vectorial, el área $A\,$ del paralelogramo que tiene por lados a los vectores $\,\vec{a}+\vec{b}\,\,$ y $\,\vec{a}-\vec{b}\,\,$ es igual al módulo del producto vectorial de los vectores $\,\vec{a}+\vec{b}\,\,$ y $\,\vec{a}-\vec{b}\,\,$ :

$A=|(\vec{a}\,+\,\vec{b})\times(\vec{a}\,-\,\vec{b})|=|\underbrace{\vec{a}\times\vec{a}}_{=\,\vec{0}}-\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,+\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{a}}_{=\,-\vec{a}\times\vec{b}}-\,\underbrace{\vec{b}\times\vec{b}}_{=\,\vec{0}}|=|-2\,\vec{a}\,\times\,\vec{b}\,|=2\,|\,\vec{a}\,||\,\vec{b}\,|\,\mathrm{sen}(\theta)$

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