No Boletín - Camino más corto entre dos rectas no paralelas (Ex.Oct/15)
De Laplace
1 Enunciado
Dadas dos rectas no paralelas: 
(que pasa por el punto 
y es paralela al vector 
) y 
(que pasa por el punto 
y es paralela al vector 
¿Cuál de los siguientes vectores coincide con el camino más corto que lleva desde hasta ?
- (1)
![\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times
\overrightarrow{AB}\,]\times(\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,](/wiki/images/math/7/3/b/73b1050ccfabda9d84613e8351ff4ded.png)
- (2)
![\displaystyle\frac{[\,\overrightarrow{AB}\cdot
(\vec{a}\times\vec{b}\,)]\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,](/wiki/images/math/1/6/5/165c0d29aee1ffc7119f7c01e81598c8.png)
- (3)
}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}\,](/wiki/images/math/6/f/6/6f6c419dac053e364a5cafa0a01b659c.png)
- (4)
}{|\overrightarrow{AB}|^2}\,](/wiki/images/math/c/9/0/c900c116521cb50419ae6f3cd504cf91.png)
2 Solución
El camino más corto entre las rectas no paralelas y se halla a lo largo de la perpendicular común a ambas rectas (vector 
de la figura adjunta). Así pues, lo primero que hacemos es generar el vector 
, cuya dirección coincide con la dirección de la perpendicular común a ambas rectas. A continuación, utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector 
(que va desde hasta ) en la suma de un vector perpendicular a (vector 
) y un vector paralelo a (vector 
):
![\overrightarrow{AB}=\underbrace{\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\times
\overrightarrow{AB}\,]\times(\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}}_{\overrightarrow{AC}}\,+\,\underbrace{\displaystyle\frac{[(\vec{a}\times\vec{b}\,)\cdot\overrightarrow{AB}\,](\vec{a}\times\vec{b}\,)}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}}_{\overrightarrow{CB}}](/wiki/images/math/2/d/e/2de9ce894ad75f76f1fbc33ee7b39275.png)
Resulta obvio que el vector buscado coincide precisamente con el vector paralelo a de la citada descomposición, es decir:
}{|\vec{a}\times\vec{b}\,|^2}](/wiki/images/math/4/e/e/4ee566db5e0b40d01bc2363fdbea6bc6.png)
Así que la solución correcta es la (3).
