No Boletín - Suma y resta de dos vectores con módulos iguales (Ex.Sep/15)

De Laplace

1 Enunciado

Sean $\,\vec{a}\,$ y $\vec{b}\,\,$ dos vectores libres no nulos y no paralelos ( $\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}\,$ ), pero con módulos iguales ( $|\vec{a}\,|=|\vec{b}\,|\,$ ). ¿Cuál de las siguientes relaciones existe con carácter general entre el vector diferencia $(\vec{a}-\vec{b}\,)\,$ y el vector suma $(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$ ?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) $\vec{a}-\vec{b}=-\,(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$

(2) $(\vec{a}-\vec{b}\,)\parallel(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$

(3) $|\,\vec{a}-\vec{b}\,|=|\,\vec{a}+\vec{b}\,|\,$

(4) $(\vec{a}-\vec{b}\,)\perp(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$

2 Solución

Obsérvese que las cuatro relaciones propuestas como posibles respuestas corresponden geométricamente a que los vectores suma $(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$ y diferencia $(\vec{a}-\vec{b}\,)\,$ sean vectores opuestos, paralelos, de igual longitud o perpendiculares, respectivamente.

Al ser $\,\vec{a}\,$ y $\vec{b}\,\,$ vectores no nulos, no paralelos y con igual módulo, podemos considerarlos geométricamente representativos de los lados de un rombo, en cuyo caso los vectores suma $(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$ y diferencia $(\vec{a}-\vec{b}\,)\,$ corresponden a las dos diagonales del citado rombo. Y es obvio que las dos diagonales de un rombo no pueden ser vectores opuestos ni paralelos en ningún caso. Por tanto, hay que descartar las opciones (1) y (2).

Examinemos la opción (3). ¿Pueden tener igual longitud las dos diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:

$|\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,|=|\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,|\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)=(\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\,\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|^2+\,|\,\vec{b}\,|^2-2\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}=|\,\vec{a}\,|^2+\,|\,\vec{b}\,|^2+\,2\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\vec{a}\,\cdot\,\vec{b}=0$

Se llega, pues, a la conclusión de que hay que descartar la relación (3) porque no se da con carácter general, sino sólamente en el caso particular de que los vectores $\,\vec{a}\,$ y $\,\vec{b}\,$ sean ortogonales, lo cual corresponde geométricamente a que el rombo sea en realidad un cuadrado.

Finalmente, examinemos la opción (4). ¿Son perpendiculares las diagonales de un rombo? Razonemos algebraicamente:

$(\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\perp(\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(\vec{a}\,-\,\vec{b}\,)\,\cdot\,(\vec{a}\,+\,\vec{b}\,)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|^2-\,|\,\vec{b}\,|^2=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|$

Queda así comprobado que la perpendicularidad de los vectores suma $(\vec{a}+\vec{b}\,)\,$ y diferencia $(\vec{a}-\vec{b}\,)\,$ sólo exige la igualdad de módulos entre $\,\vec{a}\,$ y $\vec{b}\,\,$ (las diagonales de un rombo son, por tanto, perpendiculares). Así que la respuesta correcta a este ejercicio es la (4).

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