No Boletín - Arista de un tetraedro (Ex.Oct/13)

De Laplace

1 Enunciado

El triángulo definido por los vectores $\overrightarrow{OA}=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\, \mathrm{m}\,$ y $\overrightarrow{OB}=2\,\vec{k}\,\,\mathrm{m}\,$ constituye la base de un tetraedro. Sabiendo que la altura de dicho tetraedro es $3\sqrt{2}\,\mathrm{m}\,$ y que $C\,$ es el vértice opuesto a su base, ¿cuál de los siguientes vectores puede definir la arista $OC\,$ del tetraedro descrito?

(1) $\overrightarrow{OC}=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

(2) $\overrightarrow{OC}=(\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

(3) $\overrightarrow{OC}=(\sqrt{2}\,\vec{\jmath}+3\sqrt{2}\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

(4) $\overrightarrow{OC}=(-2\,\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

2 Solución

Se calcula un vector $\vec{N}\,$ normal a la base del tetraedro, y dividiéndolo por su módulo (normalización) se obtiene un vector unitario $\vec{u}_N\,$ en su misma dirección:

$\vec{N}=\overrightarrow{OA}\,\times\,\overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=-2\,\vec{\imath}\,+\,2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{u}_N=\frac{\vec{N}}{|\vec{N}|}=\frac{-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}\,\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}\,$

A continuación, se observa por inspección geométrica que la altura del tetraedro coincide con el valor absoluto de la proyección del vector-arista $\overrightarrow{OC}\,$ sobre la dirección normal a la base. Así que dicha altura $h\,$ se puede calcular como el valor absoluto del producto escalar del vector $\overrightarrow{OC}\,$ por el vector unitario $\vec{u}_N\,$ :

$h=\left|\mathrm{proy}_{\parallel\vec{N}}\left[\overrightarrow{OC}\right]\right|=\left|\overrightarrow{OC}\cdot\vec{u}_N\right|=\left|-\frac{OC_x}{\sqrt{2}}\,+\,\frac{OC_y}{\sqrt{2}}\right|$

donde hemos denominado $OC_x\,$ y $OC_y\,$ a la componente-x y a la componente-y, respectivamente, del vector $\overrightarrow{OC}\,$ .

Como la altura del tetraedro es conocida ( $h=3\sqrt{2}\,\,\mathrm{m}\,$ ), sólo queda comprobar cuál de los cuatro vectores $\overrightarrow{OC}\,$ propuestos en el enunciado satisface la siguiente condición:

$\left|-\frac{OC_x}{\sqrt{2}}\,+\,\frac{OC_y}{\sqrt{2}}\right|=3\sqrt{2}\,\,\mathrm{m}$

Es inmediato verificar que el vector $\overrightarrow{OC}\,$ propuesto en la opción 4 es el correcto (los de las opciones 1, 2 y 3 implican una altura del tetraedro igual a $0\,\,\mathrm{m}\,$ , $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\mathrm{m}\,$ y $1\,\,\mathrm{m}\,$ , respectivamente).

3 Solución alternativa

Podemos simplificar un poco el cálculo sin usar tantas raíces cuadradas observando que puesto que

$\vec{u}_N=\frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}$

la ecuación que define la altura es

$h = \frac{\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|}$

o, equivalentemente

$\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right| = h \left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right|$

El primer miembro es el valor absoluto de un producto mixto, que se podrá escribir como el valor absoluto de un determinante

$\left|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OC}\right|=\left|\left|\begin{matrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ OC_x & OC_y & OC_z\end{matrix}\right|\right|=|2(OC_y-OC_x)|\,\mathrm{m}^2$

mientras que el segundo miembro vale

$h \left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}\right| = \left(3\sqrt{2}\,\mathrm{m}\right)\left(2\sqrt{2}\,\mathrm{m}^2\right)=12\,\mathrm{m}^3$

por lo que nuestra ecuación se reduce a

$|OC_y-OC_x| = 6\,\mathrm{m}$

Es decir, debemos buscar aquella solución cuyas dos primeras componentes se diferencien en 6 metros. Es claro que la opción 4 es la única que cumple esta condición.

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