No Boletín - Arista de un tetraedro II (Ex.Oct/15)

De Laplace

1 Enunciado

Los puntos $\,O\,$ , $A\,$ , $B\,$ y $C\,\,$ son los vértices de un tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a $1\,\mathrm{m}\,$ . Se elige el triedro cartesiano $OXYZ\,$ de la figura, de tal modo que las aristas $\,OA\,$ y $OB\,\,$ del tetraedro quedan definidas por los vectores:

$\overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\, \overrightarrow{OB}=\vec{\jmath}\,\,\mathrm{m}$

Determine el vector $\,\overrightarrow{OC}\,$ , por el que queda definida la arista $OC\,$ del tetraedro.

2 Solución

Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI). Sabemos que todas las caras del tetraedro son triángulos equiláteros con lados de longitud igual a $1.\,$ Así que $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1.\,$ Y sabemos que los ángulos internos de un triángulo equilátero valen $\pi/3.\,$ Todo esto nos permite calcular el valor de los siguientes productos escalares (por definición):

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OB}|\,\mathrm{cos}(\pi/3)=1\cdot 1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ \\ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OA}|\,\mathrm{cos}(\pi/3)=1\cdot 1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ \\ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OC}|\,\mathrm{cos}(0)=1\cdot 1\cdot 1=1 \end{array}$

Conocemos en base cartesiana los vectores $\overrightarrow{OA}\,$ y $\overrightarrow{OB}\,$ , y queremos determinar el vector $\,\overrightarrow{OC}=OC_x\,\vec{\imath}+OC_y\,\vec{\jmath}+OC_z\,\vec{k}.\,$

Realizando los productos escalares anteriores a partir de las componentes cartesianas de los correspondientes vectores, y exigiendo que los resultados así obtenidos coincidan con los valores antes obtenidos por definición, determinamos las componentes cartesianas de $\,\overrightarrow{OC}\,$ :

$\begin{array}{lllll} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=\displaystyle\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_y=\displaystyle\frac{1}{2} & & \\ \\ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=\displaystyle\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,OC_x+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2} &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_x=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ \\ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=1 &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \left(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{\! 2}+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\! 2}+\,OC_z^{\, 2}=1&\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& OC_z=\sqrt{\displaystyle\frac{2}{3}} \end{array}$

habiéndose elegido la raíz positiva (y descartado la negativa) como solución de $OC_z\,$ por coherencia con la figura del enunciado.