De Laplace

Contenido

1 Problemas del boletín
2 Otros problemas
3 Problemas de sistemas de referencia no inerciales
- 3.1 Partícula girando en un aro
- 3.2 Partícula en tubo que gira (ecuaciones de movimiento)

1 Problemas del boletín

1.1 Giro de un triedro

Los triedros $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ y $O X 0 Y 0 Z 0$ están definidos de modo que sus orígenes y los ejes $O 1 Z 1$ coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme $\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_1 =\omega\,\vec{k}_0$ , de modo que el ángulo $θ$ indicado en la figura es $\theta = \omega\, t$ .

Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
Dado el vector $\vec{A}(t) = a\,\vec{\imath}_0$ calcula

$\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1 \qquad\qquad \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0$

Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
Haz el mismo cálculo para el vector $\vec{B}(t) = b\,t\,\vec{\imath}_0$

1.2 Disco engarzado en otro disco

En la figura se muestra un disco de radio $R$ (sólido "2"), que gira con velocidad angular $ω 20 (t) = ω$ , constante, alrededor del eje perpendicular a él, $O 1 X 0$ . Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante $ω 01 (t) = Ω$ , alrededor del eje vertical $O 1 Z 1$ de un sistema de referencia fijo $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas $\vec{v}^B_{21}$ y $\vec{a}^B_{21}$ en el instante representado en la figura.

1.3 Horquilla y disco

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). El punto $O$ de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad $v$ sobre el eje $O 1 Z 1$ , a la vez que el aro gira con velocidad angular constante $Ω$ alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común $A B$ , con velocidad angular constante $ω$ .

Nota: Los valores de $Ω$ , $ω$ y $v$ pueden ser positivos o negativos.

¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

1.4 Cono rodando sin deslizar sobre plano

Un cono recto de radio $R$ en su base y una altura $h=\sqrt{3}\,R$ (sólido “2”), se mueve rodando sin deslizar sobre el plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”), en el cuál apoya, en cada instante, una generatriz $\overline{OG}$ . La velocidad del centro $C$ de la base del cono, medida desde el sistema de referencia ligado al sólido “1”, tiene módulo constante de valor $v 0$ . Para facilitar la descripción del movimiento, se introduce un sistema de referencia $O X 0 Y 0 Z 0$ (sólido “0”) con origen $O$ en el vértice del cono, el eje $O Z 0$ siempre perpendicular al plano fijo “1”, y cuyo eje $O Y 0$ contiene en cada instante a la generatriz del cono en contacto con dicho plano.

Reducciones cinematicas de los movimientos relativos.
Ejes de rotación y naturaleza de los movimientos.
Campos de aceleraciones.

1.5 Disco rodando sin deslizar ni pivotar

Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre en contacto (puntual) con un plano $Π 1 = O X 1 Y 1$ (sólido "1") y de manera que, en cada instante, el radio $C D$ desde el centro $C$ del disco hasta el punto $D$ en contacto con $Π 1$ , es perpendicular a dicho plano. El movimiento del disco respecto del plano $Π 1$ se caracteriza porque no presenta ni deslizamiento en el punto $D$ de contacto, ni tampoco pivotamiento con respecto a dicho plano. Para describir más fácilmente el movimiento, se introduce un sistema de referencia intermedio (sólido "0" ), tal que $O Z 0 = O Z 1$ , y que el plano $\Pi_0\equiv OX_0Z_0$ contenga en cada instante al radio $C D$ . El centro $C$ del disco realiza, en el plano $Π 0$ , un movimiento rectilíneo uniforme por el cuál se aleja del eje $O Z 0,1$ a velocidad constante $v 0$ ; mientras, $Π 0$ realiza una rotación permanente en torno a dicho eje, en sentido antihorario y con velocidad angular variable $Ω(t) = v 0 / (R + v 0 t)$ . En el instante inicial, $t = 0$ , el centro del disco se encuentra en la posición dada por el segmento orientado $\overrightarrow{OC}=R\,(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0)$ ; es decir, a una distancia $R$ del eje $O Z 0,1$ .

Encuentre la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $C$ .

1.6 Esfera rodando sin deslizar en un recipiente cilíndrico

Una esfera de radio $R$ (sólido "2") se mueve en el interior de un recipiente cilíndrico de radio $2 R$ (sólido "1"). El movimiento es tal que, en todo momento, la esfera rueda sin deslizar en los dos puntos $A$ y $B$ en contacto con la superficie cilíndrica (ver figura). El centro $C$ de la esfera realiza un movimiento circular uniforme. Introducimos un sólido intermedio $O X 0 Y 0 Z 0$ , de modo que el eje $O Z 0$ coincide en todo instante con $O Z 1$ , y el plano $O X 0 Z 0$ contiene siempre al centro de la esfera $C$ . Este plano gira alrededor de $O Z 0$ , en sentido antihorario y con velocidad angular constante $Ω$ .

Obtenga reducciones cinemáticas de todos los movimientos relativos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas instantáneas. Indique que tipo de movimiento son.
¿Cómo son los movimientos de pivotamiento y rodadura del sólido "2" respecto del "1" en los puntos que ocupan las posiciones de contacto $A$ y $B$ ?.
Calcula $\vec{a}^{\,A}_{21}- \vec{a}^{\,B}_{21}$ y $\vec{a}^{\,A}_{20}- \vec{a}^{\,B}_{20}$ .

2 Otros problemas

2.1 Coche sobre una plataforma circular

Una plataforma circular gira alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro con velocidad angular uniforme $ω$ . Un coche se mueve radialmente desde el centro de la plataforma hacia fuera con velocidad uniforme $v c$ . Encuentra la expresión de la velocidad del coche visto desde la plataforma y desde un observador en reposo absoluto. Describe las trayectorias que describe el coche para cada uno de estos observadores.

Ayuda

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\int t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\mathrm{d} t = -\dfrac{t}{\omega}\cos(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)& \qquad &\displaystyle\int t\,\cos(\omega t)\mathrm{d} t = \dfrac{t}{\omega}\,\mathrm{sen}\,(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\cos(\omega t) \end{array}$

2.2 Rotación de un cono con un disco encima

Un cono recto de radio $R$ en su base y altura $h=\sqrt{3}R$ (sólido "2"), tiene su vértice fijo en un punto $A$ del eje $O Z 1$ , situado a una distancia $h$ sobre el punto $O$ . Cuando el cono se mueve, el perímetro de su base rueda sin deslizar sobre el plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido "1"), al cuál es perpendicular el eje $O Z 1$ . Además, hay un sólido "3" consistente en un disco que en todo instante tiene su centro situado en el punto $A$ , y permanece paralelo al plano $O X 1 Y 1$ . En consecuencia, siempre hay un segmento recto de la superficie lateral del cono (generatriz $\overline{AG}$ ) en contacto con un radio del disco. Cuando el cono (sólido "2") se mueve, lo hace rodando sin deslizar sobre el disco. Indique la posición de los ejes instantáneos de los diversos movimientos existentes en este sistema.

Nota: Se sugiere utilizar un sistema de referencia $O X 0 Y 0 Z 0$ (sólido "0"), tal que $\vec{k}_0=\vec{k}_1$ en todo instante de tiempo, y además, los puntos del eje $A C$ del cono, se encuentren en reposo permanente en el plano $O X 0 Z 0$ .

2.3 Disco contenido en un plano que rota

Un plano vertical $Π$ ( sólido "0"), gira alrededor del eje vertical fijo $O 1 Z 1$ con su eje $O 1 X 0$ siempre contenido en el plano horizontal fijo $O 1 X 1 Y 1$ ( sólido "1"), estando caracterizado dicho movimiento por el vector rotación $\vec{\omega}_{01}(t)=2\,A\,t\vec{k}_0$ . Un disco de centro $O$ y radio $R$ (sólido "2"), contenido en todo instante en el plano $Π$ , rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O 1 X 0$ , siendo la velocidad relativa de su centro $\vec{v}_{20}^O(t)=v_0\vec{\imath}_0$ (con $v 0$ constante). Si en el instante inicial $(t = 0)$ , el centro $O$ se encontraba en el eje $O 1 Z 1$ , determina:

Los vectores velocidad angular $\vec{\omega}_{21}(t)$ y aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}(t)$ en un instante cualquiera.
Los vectores aceleración $\vec{a}_{21}^C(t_0)$ en un instante $t = t 0$ en el que el punto $C$ del disco se halla en contacto con el plano horizontal $O 1 X 1 Y 1$ .
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento del movimiento {21} en el citado instante $t = t 0$ .

2.4 Movimiento relativo de un coche y un tren

Un tren circula por una vía recta con velocidad uniforme $v t$ . Un coche se aleja de un paso a nivel perpendicularmente al tren con velocidad $v c$ . Encuentra la velocidad del coche vista por un observador que se mueve con el tren y por un observador en el paso a nivel. Describe las trayectorias que describe el coche para cada uno de estos observadores.

2.5 Hélice de un avión que gira

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro $C$ de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ . La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es $|\vec{\omega}_{01}|=\Omega$ . Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es $R$ , gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo $|\vec{\omega}_{20}|=\omega$ . Se pide

La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
Aplicando la composición de velocidades, la velocidad $\vec{v}_{21}^P$ y aceleración $\vec{a}_{21}^P$ del punto más alto de la hélice (punto $P$ en la figura).
La reducción cinemática del movimiento {21} en $P$ y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
Calcule numéricamente $|\vec{v}_{21}^P|$ y $|\vec{a}_{21}^P|$ para los valores $R=1\,\mathrm{m}$ , $L=100\,\mathrm{m}$ , $\omega=100\,\mathrm{rad/s}$ y $\Omega=1\,\mathrm{rad/s}$ .

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

2.6 Dos conos en movimiento relativo

Dos conos rectos de semiángulos en el vértice $π / 3$ y $π / 6$ (sólidos "0" y "2", respectivamente), se hallan en contacto en todo instante por una generatriz. Cada cono realiza un movimiento de rotación permanente respecto a un sistema de referencia fijo (sólido "1") alrededor de su correspondiente eje de simetría. Las velocidades angulares respectivas son $\vec{\Omega}(t)$ para el movimiento {01} y $\vec{\omega}(t)$ para el {21}. Además, los conos se mueven de manera que sus puntos en contacto no tienen deslizamiento relativo.

¿Que tipo de movimiento es el {20}?
En ese movimiento, ¿que puntos tienen velocidad mínima?
¿Que relación deben cumplir las velocidades angulares del enunciado?
Calcula la aceleración angular $\vec{\alpha}_{20}$ .

2.7 Rotación instantánea de un sólido rígido

Un cilindro recto de radio

R

en sus bases y altura

2 R

(sólido “2”), se mueve respecto de un tronco de cono (sólido “1”), cuyas bases son sendos círculos de radios

R

y

2 R

, y cuya generatriz tiene una longitud

2 R

. El movimiento es tal que, en cada instante, los sólidos “1” y “2” tienen en contacto una generatriz $\overline{AB}$ , y la base superior del cilindro rueda sin deslizar sobre el perímetro de la base pequeña del tronco de cono. Justifique por qué el movimiento

{21}

es una rotación instantánea e indique razonadamente qué puntos forman el eje instantáneo de rotación de dicho movimiento.

2.8 Esfera sobre dos raíles

Una esfera de radio $R$ (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios $R$ y $2 R$ (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C$ realiza un movimiento circular uniforme, siendo $v 0$ el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano $O 1 X 0 Z 0$ que contiene en todo instante al centro $C$ de la esfera (ver figura), calcula:

Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto $B$ ), los vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$

2.9 Cuestión sobre sólidos en contacto

Los sólidos rígidos de la figura se encuentran en contacto, por lo que su movimiento relativo está sometido a ciertas restricciones. El extremo esférico del sólido “2” está obligado a permanecer en el interior del carril (sólido “1”), pudiendo desplazarse sólo a lo largo de su dirección longitudinal (paralela al eje

O 1 Y 1

). Por otra parte, el sólido “2” no puede ejecutar giros en torno a dicha dirección debido a que el vástago cilíndrico está insertado en la ranura del sólido “1”.

Obtenga razonadamente el par cinemático (reducción cinemática en $O$ ) que describe de forma general el movimiento instantáneo permitido al sólido “2” respecto del carril (sólido “1”).
¿Cuál es el número de grados de libertad del sistema? Justifique su respuesta.

2.10 Disco y vástago

El sólido rígido "0" del mecanismo de la figura corresponde a un vástago $O C$ de longitud $3 R$ que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo $O$ , permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo $O 1 Z 1$ (sólido "1"). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de $O 1 Z 1$ con velocidad angular constante de módulo $|\vec{\omega}_{01}|=2\omega$ y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo $O$ se desplaza sobre el eje vertical $O 1 Z 1$ en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta $|\vec{v}_{01}^O|=v$ . El extremo $C$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), siempre contenido en el plano vertical $O X 0 Z 0$ ; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a $O Y 0$ que pasa por $C$ , en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante de módulo $|\vec{\omega}_{20}|=\omega$ . Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido "0"- $O X 0 Y 0 Z 0$ - para expresar las magnitudes vectoriales, determina:

El vector rotación instantánea $\vec{\omega}_{21}$ y su derivada temporal $\vec{\alpha}_{21}$ (vector aceleración angular), correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
Las velocidades del punto $A$ del perímetro del disco en el instante en el que aquél ocupa el punto más alto del diámetro vertical(ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: $\vec{v}_{01}^A$ , $\vec{v}_{20}^A$ y $\vec{v}_{21}^A$ .
Las aceleraciones $\vec{a}_{01}^A$ , $\vec{a}_{20}^A$ y $\vec{a}_{21}^A$ para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.

2.11 Disco y varilla con dos rotaciones

El sistema de la figura está formado por una varilla $A B$ de longitud $l$ (sólido "0"), cuyo extremo $A$ está fijado en el eje vertical $O 1 Z 1$ , a una altura $R$ sobre el plano horizontal fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). La varilla $A B$ gira alrededor de $O 1 Z 1$ con una velocidad angular constante $Ω$ , permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo $B$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante $ω$ , coincidiendo su eje de giro con la varilla.

Caracterice los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
Obtenga la expresión de la velocidad $\vec{v}^C_{21}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ , (punto $C$ ) en términos de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $ω$ y $Ω$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
Obtenga las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración $\vec{a}^B_{21}$ del centro del disco (punto $B$ ). Calcule la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O 1 X 1 Y 1$ .

2.12 Dos discos en planos ortogonales rodando sin deslizar sobre un plano fijo

En el sistema de la figura, el sólido “0” consiste en dos barras $O A$ y $O B$ de direcciones perpendiculares y rígidamente unidas entre sí, que determinan los respectivos ejes $O X 0$ y $O Y 0$ del sistema de referencia ligado a dicho sólido. Las longitudes de los brazos son tales que $\overrightarrow{OA}=3\!\ R\!\ \vec{\imath}_0$ , y $\overrightarrow{OB}=4\!\ R\!\ \vec{\jmath}_0$ . Este sólido “0” se mueve respecto de un sistema de referencia $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ (sólido “1”) de manera que, en todo momento, $OZ_0\|O_1Z_1$ y la posición del punto $O$ es, $\overrightarrow{O_1O}=R\!\ \vec{k}_1$ . Así, la reducción cinemática de dicho movimiento en todo instante de tiempo es:

$S_{01}\equiv\bigg\{\vec{\omega}_{01}=\Omega\!\ \vec{k}_{1,0}\mathrm{;}\quad \vec{v}_{01}^O=\vec{0}\bigg\}\mathrm{,}\;\;\forall\, t$

siendo $Ω$ un valor constante. Un disco de radio $R$ (sólido “2”), con su centro fijado en el extremo $A$ del sólido “0”, se mantiene siempre en el plano perpendicular al brazo $O A$ , girando en torno a éste. Un segundo disco de igual radio $R$ (sólido “3”), con su centro fijado en el extremo $B$ del brazo $O B$ , se mantiene siempre en el plano perpendicular a dicho brazo, girando en torno al mismo. Además, los discos “2” y “3” ruedan y/o pivotan sin deslizar sobre el plano fijo $\, \Pi_1=O_1X_1Y_1\,$ del sólido “1”, en los respectivos puntos de contacto $C$ y $D$ .

Obtenga las reducciones cinemáticas correspondientes a los movimientos de los discos respecto del plano fijo $Π 1$ (movimientos {21} y {31}). Se sugiere utilizar la posición $O$ como centro de reducción, y el sistema de referencia asociado al sólido “0” para describir los vectores.
Obtenga la reducción cinemática del movimiento del disco “3” respecto del disco “2” (movimiento {32}). Discuta qué tipo de movimiento es y la posición de los puntos con velocidad mínima en dicho movimiento.
Obtenga las derivadas temporales de los vectores de la reducción cinemática del movimiento {32}, $\displaystyle \vec{\alpha}_{32}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{32}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}\mathrm{;}\quad \vec{a}_{32}^O=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{32}^O}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{2}$

2.13 Dos ventiladores

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros ( $A$ y $B$ ) equidistantes (distancia $L$ ) de la esquina (punto $O$ ). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a $ω$ , con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo $O X Y Z$ (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:

Los vectores $\vec{\omega}_{20}$ y $\vec{\alpha}_{20}$ . Los vectores $\vec{v}_{20}^O$ y $\vec{a}_{20}^O$ .
El eje instantáneo de rotación.

Nota: Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.

3 Problemas de sistemas de referencia no inerciales

3.1 Partícula girando en un aro

Una partícula describe un movimiento circular de radio $R$ con velocidad angular uniforme $ω$ . Se considera que no hay rozamiento ni peso.

Aplicando la Segunda Ley de Newton en el sistema en reposo, calcula la fuerza neta ejercida sobre la partícula en cada instante.
Se considera una escuadra $O X 0 Y 0$ , de modo que el eje $O X 0$ pasa siempre por el centro de la circunferencia y la posición de la partícula en cada instante. Aplica la Segunda Ley de Newton en este sistema de referencia no inercial.

3.2 Partícula en tubo que gira (ecuaciones de movimiento)

Una partícula de masa

m

se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme

ω

en torno a un eje perpendicular al del tubo. Obtenga las ecuaciones de movimiento para la partícula aplicando los resultados del movimiento relativo de sólidos rígidos.

Problemas de Movimiento relativo (G.I.A.)