Disco y varilla con dos rotaciones

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por una varilla $A B$ de longitud $l$ (sólido "0"), cuyo extremo $A$ está fijado en el eje vertical $O 1 Z 1$ , a una altura $R$ sobre el plano horizontal fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). La varilla $A B$ gira alrededor de $O 1 Z 1$ con una velocidad angular constante $Ω$ , permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo $B$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante $ω$ , coincidiendo su eje de giro con la varilla.

Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
Obtén la expresión de la velocidad $\vec{v}^C_{21}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ , (punto $C$ ) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $ω$ y $Ω$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración $\vec{a}^B_{21}$ del centro del disco (punto $B$ ). Calcula la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O 1 X 1 Y 1$ .

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es $O 1 Z 1$ . Reduciendo en el punto $O 1$ tenemos

$\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0$

2.1.2 Movimiento {20}

El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es $ω$ , dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto $B$ tenemos

$\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0$

2.1.3 Movimiento {21}

Expresamos este movimiento como la composición

${21} = {20} + {01}$

La velocidad angular es

$\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0$

La velocidad en el punto $B$ es

$\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}$

Para obtener $\vec{v}^{\,B}_{01}$ usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}

$\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0) = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0$

Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $B$ es

$\vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0$

2.2 Velocidad del punto de contacto

Obtenemos $\vec{v}^{\,C}_{21}$ usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con $\vec{v}^{\,B}_{21}$

$\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC} =l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0) = (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0$

Para que no deslice debe ocurrir

$\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0$

2.3 Aceleraciones

Obtenemos $\vec{a}^{\,B}_{21}$ usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}

$\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}$

Veamos cada una de los términos.

El primer término es nulo, pues el punto $B$ pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto $\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}$ en todo instante y

$\vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}$

Por la misma razón el tercer término se anula pues $\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}$ .

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y $Ω$ es constante, por lo que

$\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}$

Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}

$\begin{array}{lcl} \vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) = \vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right) = (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

Así pues obtenemos

$\vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0$

Para obtener $\vec{a}^{\,C}_{21}$ usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos $\vec{\alpha}_{21}$ . A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos

$\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) = \omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0}$

Hemos usado que

$\vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}$

Podemos ahora hallar $\vec{a}^{\,C}_{21}$

$\begin{array}{lcl} \vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\ &&\\ && \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ && \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} = (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\ &&\\ &&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) = \vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right) = (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0 \end{array}$