Horquilla y disco Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). El punto $O$ de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad $v$ sobre el eje $O 1 Z 1$ , a la vez que el aro gira con velocidad angular constante $Ω$ alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común $A B$ , con velocidad angular constante $ω$ .

Nota: Los valores de $Ω$ , $ω$ y $v$ pueden ser positivos o negativos.

¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de los tres movimientos presentes.

2.1.1 Movimiento {01}

Esta es la rotación y traslación de la horquilla. Tenemos

$\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^O_{01} = v\,\vec{k}_0$

2.1.2 Movimiento {20}

Esta es la rotación del disco. Tenemos

$\vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{v}\,^C_{20} = \vec{0}$

Observese que, para un observador que se mueve con la horquilla (sólido “0”) el punto $C$ es un punto en reposo permanente pues, en todo instante se tiene que

$\overrightarrow{OC}=R\!\ \vec{\imath}_0\mathrm{,}\,\;\,(\mathrm{cte.})$

2.1.3 Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición.

$\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\jmath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0$

Reducimos la velocidad en el punto $C$

$\begin{array}{rl} \vec{v}\,^C_{21}& = \vec{v}\,^C_{20} + \vec{v}\,^C_{01} \\ & \\ &\vec{v}\,^C_{20} = \vec{0} \\ & \\ &\vec{v}\,^C_{01} = \vec{v}\,^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = v\,\vec{k}_0 + R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \end{array}$

Por tanto

$\vec{v}\,^C_{21} = R\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 +v\,\vec{k}_0$

2.1.4 Velocidad mínima de {21} nula

El movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo será rotación instantánea cuando la velocidad mínima del movimiento {21} sea nula (con un vector rotación instantánea no nulo). Y esto ocurrirá cuando el invariante escalar sea nulo:

$\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}\,^C_{21} = 0 \longrightarrow R\,\Omega\,\omega + v\,\Omega = 0 \longrightarrow v=-\omega\,R$

2.2 EIRMD para el movimiento {21}

Por definición, éste es el lugar geométrico formado por todos los puntos que se mueven solidariamente con el disco “2” y cuya velocidad, medida por el sistema de refencia “1”, es paralela a la rotación instantánea $\vec{\omega}_{21}$ . Y como sabemos, se trata de una recta paralela al dicho vector rotación y que pasa por un punto $I 21$ , cuya posición puede determinarse en cada instante a partir de la reducción cinemática:

$\Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}:\overrightarrow{O_1X}=\overrightarrow{OI}_{21}+\lambda\!\ \vec{\omega}_{21}\quad\,(\lambda\in\mathrm{I}\! \mathrm{R})$

La posición del punto $I 21$ , respecto del punto $C$ utilizado en la reducción cinemática (centro de reducción), viene dada por el segmento orientado...

$\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}\,^C_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} = \dfrac{\omega\,v - R\,\Omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0$

La posición de $I 21$ , respecto del punto $O 1$ se obtiene fácilmente:

$\overrightarrow{OI}_{21} =\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\omega\,(v + R\,\omega)}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0$

Es decir, el eje $\Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}$ está contenido en todo momento en un plano parelelo al $O Y 0 Z 0$ y pasa por un punto del eje $O X 0$ (el $I 21)$ , cuya posición está determinada por los valores de $v$ , $ω$ y $Ω$ .

2.2.1 EIRMD por el centro del disco

Para que pase por el punto $C$ debe ocurrir

$\overrightarrow{CI}_{21} = \vec{0}\; \Longleftrightarrow\; v = R\,\Omega^2/\omega$

2.2.2 EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

Para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea el invariante escalar debe ser nulo, esto es, debe cumplirse

$v = -\omega\,R$

Pero en este caso la posición de un punto del EIRMD respecto del punto $C$ viene dada por

$\overrightarrow{CI}_{21} = -R\,\vec{\imath}_0$

y el EIRMD no pasaría por $C$ . De hecho pasaría por el punto $O$ . Por tanto esta situación no puede ocurrir nunca.

2.3 Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

Para poder determinar la aceleración de cualquier punto del disco “2”, debemos conocer la derivada temporal de los elementos que constituyen las reducción cinemática de dicho movimiento; es decir:

$\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{\alpha}_{21}(t)\,\mathrm{;}\,\quad\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{a}_{21}^C(t)$

De las relaciones del movimiento relativo, sabemos que...

$\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}$

En esta expresión $\vec{\alpha}_{20}$ es la variación instantánea del vector rotación en el movimiento {20}. Pero, como se vio al obtener la reducción cinemática de dicho movimiento, $\vec{\omega}_{20}$ es un vector constante en módulo, dirección y sentido para el observador “0”. Y exactamente lo mismo ocurre con el vector rotación $\vec{\omega}_{01}$ , cuando es observado por el sistema de referencia fijo (sólido “1”), de manera que:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\alpha}_{20}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_0=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\\ \\ \displaystyle\vec{\alpha}_{01}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_1=\vec{0}\mathrm{,}\;\;\forall\ t\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{\alpha}_{21}(t)=\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\omega\Omega\!\ \vec{\imath}_0(t)$

La aceleración “absoluta” (en el movimiento {21}) del centro del disco, $C$ , viene dada por la expresión general:

$\displaystyle\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{20}^C+\vec{a}_{01}^C+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C$

Como se indicó en la reducción cinemática del movimiento {20}, el centro $C$ del disco es un punto en reposo permanente en dicho movimiento, luego tanto la velocidad $\vec{v}_{20}^C$ , como la aceleración $\vec{a}_{20}^C$ , son nulas en todo momento; entonces...

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{a}_{20}^C=\vec{0}\\ \\ \displaystyle2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C=\vec{0}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;\;\;\vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{01}^C=\vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}\right)$

Teniendo en cuenta que $\overrightarrow{OC}=R\vec{\imath}_0$ y asumiendo que, en general, el punto $O$ de la horquilla recorre el eje $O 1 Z 1$ con velocidad $v (t)$ , función del tiempo, se tendrá:

$\vec{a}_{21}^C(t)=\vec{a}_{01}^O-|\vec{\omega}_{01}|^2\!\ \overrightarrow{OC}=\dot{v}(t)\!\ \vec{k}_1-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)$

Como se vio anteriormente, para que el $\Delta_{21}^\mathrm{EIRMD}$ pase por el centro del disco, la velocidad de deslizamiento de la horquilla sobre el eje $O 1 Z 1$ debía ser $v = R Ω 2 / ω$ , constante, al serlo los factores $R$ , $Ω$ y $ω$ . Por tanto, en este caso particular se tendrá:

$\vec{a}_{21}^C(t)=-R\Omega^2\!\ \vec{\imath}_0(t)$

Horquilla y disco Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

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2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

2.1.2 Movimiento {20}

2.1.3 Movimiento {21}

2.1.4 Velocidad mínima de {21} nula

2.2 EIRMD para el movimiento {21}

2.2.1 EIRMD por el centro del disco

2.2.2 EIRMD por el centro del disco y rotación instantánea

2.3 Variación instantánea de las magnitudes cinemáticas del {21}

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