Disco contenido en un plano que rota (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un plano vertical $Π$ ( sólido "0"), gira alrededor del eje vertical fijo $O 1 Z 1$ con su eje $O 1 X 0$ siempre contenido en el plano horizontal fijo $O 1 X 1 Y 1$ ( sólido "1"), estando caracterizado dicho movimiento por el vector rotación $\vec{\omega}_{01}(t)=2\,A\,t\vec{k}_0$ . Un disco de centro $O$ y radio $R$ (sólido "2"), contenido en todo instante en el plano $Π$ , rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O 1 X 0$ , siendo la velocidad relativa de su centro $\vec{v}_{20}^O(t)=v_0\vec{\imath}_0$ (con $v 0$ constante). Si en el instante inicial $(t = 0)$ , el centro $O$ se encontraba en el eje $O 1 Z 1$ , determina:

Los vectores velocidad angular $\vec{\omega}_{21}(t)$ y aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}(t)$ en un instante cualquiera.
Los vectores aceleración $\vec{a}_{21}^C(t_0)$ en un instante $t = t 0$ en el que el punto $C$ del disco se halla en contacto con el plano horizontal $O 1 X 1 Y 1$ .
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento del movimiento {21} en el citado instante $t = t 0$ .

2 Solución

Los datos cinemáticos proporcionados por el problema son la velocidad angular del sólido "0" respecto al "1" y la velocidad del punto $O$ perteneciente al sólido "2" moviéndose respecto al sólido "0". Expresados en los ejes propuestos en la figura son

$\vec{\omega}_{01}=2At\vec{k}_0=2At\vec{k}_1,\qquad\vec{v}_{20}^O=v_0\vec{\imath}_0$

2.1 Movimiento {01}

Este movimiento es de rotación permanente del plano $Π$ alrededor del eje $O 1 Z 1$ con velocidad angular dependiente del tiempo. Tenemos

$\vec{\omega}_{01}=2At\,\vec{k}_1,\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=2A\,\vec{k}_1=2A\,\vec{k}_0$

Al ser una rotación de eje permanente, cualquier punto del eje tiene velocidad y aceleración nulas. Si escogemos el origen del sistema $O 1$ , la reducción del movimiento y las aceleraciones son, expresadas en la base del sólido "0"

$\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01}=2At\,\vec{k}_0&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \vec{\alpha}_{01}=2A\,\vec{k}_0 &\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_1\equiv O_1Z_0 \end{array}$

Calculamos la velocidad $\vec{v}_{01}^C$ en el instante $t = t 0$ en que está tocando el eje $O X 0$ . Dado que en $t = 0$ el centro del disco $O$ estaba en el eje $O 1 Z 1$ , y la velocidad de traslación del centro del disco sobre el eje $O X 0$ es constante e igual a $v 0$ , en el instante $t 0$ la distancia entre los puntos $O 1$ y $C$ es $v 0 t 0$ , por lo que se tiene

$\overrightarrow{O_1C}=v_0t_0\,\vec{\imath}_0$

Utilizando las ecuaciones del campo de velocidades y aceleraciones del movimiento {01} obtenemos

$\begin{array}{l} \vec{v}_{01}^C = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}=2Av_0t_0^2\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{a}_{01}^C = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C})=2Av_0t_0\,\vec{\jmath}_0 - 4A^2v_0t_0^3\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

2.2 Movimiento {20}

Dado que el disco rueda sin deslizar, la velocidad $\vec{v}_{20}^C=\vec{0}$ . Es decir, el eje instantáneo de este movimiento pasa por el punto $C$ . Por otro lado, el eje de giro es perpendicular al plano $Π$ , es decir, se tiene $\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0$ . Para determinar $ω 20$ usamos el dato de la velocidad del punto $C$ en el movimiento {20}. Tenemos

$\vec{v}_{20}^O=v_0\,\vec{\imath}_0=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}= (\omega_{20}\,\vec{\jmath}_{0})\times(R\,\vec{k}_0)=\omega_{20}R\,\vec{\imath}_0\Rightarrow \omega_{20}=\dfrac{v_0}{R}$

Por otro lado, la aceleración del punto $O$ es

$\vec{a}_{20}^O = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{20}^O}{\mathrm{d}t}\right|_0=\dfrac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}_0=\vec{0}$

Esta derivada puede hacerse suponiendo que $\vec{\imath}_0$ es constante, pues la expresión de $\vec{v}_{20}^O$ en la base vectorial del sólido "0" es válida para todo $t$ . Usando el mismo argumento para derivar $\vec{\omega}_{20}$ podemos caracterizar completamente el movimiento

$\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20}=\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0&\qquad&\vec{v}_{20}^O=v_0\,\vec{\imath}_0\\ && \\ \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}&\qquad&\vec{a}_{20}^O=\vec{0}\\ && \\ \Delta_{EIR}\equiv CY_0 \end{array}$

La velocidad y aceleración en el punto $C$ son

$\begin{array}{l} \vec{v}_{20}^C=\vec{0}\\ \vec{a}_{20}^C = \vec{a}_{20}^O+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OC}) = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0 \end{array}$

2.3 Movimiento {21}

Usando las reglas de composición de movimientos obtenemos

$\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0+2At_0\vec{k}_0\\ \vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}= 2A\,\vec{k}_0-\dfrac{2Av_0t_0}{R}\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

Para la velocidad y aceleración, tenemos

$\begin{array}{l} \vec{v}_{21}^C=\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{01}^C=2Av_0t_0^2\,\vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{a}_{21}^C=\vec{a}_{20}^C+\vec{a}_{01}^C+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^C= \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0+2Av_0t_0\,\vec{\jmath}_0- 4A^2v_0t_0^3\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

EL vector de posición de un punto del eje instantáneo del movimiento {21} puede calcularse respecto al punto $C$

$\overrightarrow{CI^*} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^C}{|\vec{\omega}_{21}|^2}= -\dfrac{4A^2R^2v_0t_0^3}{4A^2R^2t_0^2+v_0^2}\,\vec{\imath}_0$

Tomando como referencia el origen de coordenadas, la ecuación paramétrica del eje es

$\Delta_{\mathrm{EIRMD}}\quad\equiv \quad\overrightarrow{O_1I} = \overrightarrow{O_1C} + \overrightarrow{CI^*} +\lambda\,\vec{\omega}_{21}$

La velocidad mínima es

$v_{21}^{\mathrm{min}} = \dfrac{\vec{v}_{21}^C\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|}= \dfrac{2Av_0^2t_0^2}{\sqrt{4A^2R^2t_0^2+v_0^2}}$

Por tanto, el movimiento es helicoidal tangente. La figura muestra aproximadamente las magnitudes cinemáticas más relevantes.

Disco contenido en un plano que rota (G.I.A.)

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Movimiento {01}

2.2 Movimiento {20}

2.3 Movimiento {21}

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