Esfera sobre dos raíles (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una esfera de radio $R$ (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios $R$ y $2 R$ (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C$ realiza un movimiento circular uniforme, siendo $v 0$ el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano $O 1 X 0 Z 0$ que contiene en todo instante al centro $C$ de la esfera (ver figura), calcula:

Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto $B$ ), los vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$

2 Solución

Este problema es algo diferente de los anteriores. Los datos cinemáticos que nos dan son las velocidades absolutas de los puntos $A$ , $B</math> y $C</math>. Por un lado la esfera (sólido "2") rueda sin deslizar sobre los carriles (sólido "1"), por tanto $\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}$ . Por otro lado, el centro de la esfera realiza un movimiento circular uniforme, por lo que $|\vec{v}_{21}^C|=v_0$ . Usando la base vectorial del sólido "0" que gira con el centro de la esfera, los datos cinemáticos son por tanto

$\vec{v}_{21}^A=\vec{0},\qquad \vec{v}_{21}^B=\vec{0},\qquad \vec{v}_{21}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0$

Además, podemos observar que el sólido "0", que sigue a la esfera en su movimiento, realiza una rotación permanente alrededor del eje $O 1 Z 1$ , de modo que podemos escribir

$\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_0$

Dado que tenemos la velocidad del movimiento {21} en tres puntos no alineados, esto nos permite calcular $\vec{\omega}_{21}$ . En este caso analizaremos primero el movimiento {21} y a partir de él obtendremos la descripción de los otros movimientos.

2.1 Movimiento {21}

Como $\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}$ , el eje instantáneo del movimiento {21} pasa por esos dos puntos, es decir, $\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{\imath}_0$ . Pero entonces también pasa en todo instante por el origen de coordenadas, $O 1$ . Podemos decir entonces que el punto $O 1$ es un punto fijo en este movimiento, y por tanto

$\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0}$

Usando la ecuación del campo de velocidades, tenemos

$\vec{v}_{21}^C=v_o\,\vec{\jmath}_0=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}$

Necesitamos el vector geométrico $\overrightarrow{O_1C}$ . Si nos fijamos en la figura adjunta, observamos que el triángulo $A B C$ es equilátero, pues la distancia entre los raíles es $R$ , el radio de la esfera. Los tres ángulos son entonces de $π / 3$ radianes, con lo que podemos calcular la altura del triángulo, que es la coordenada $z 0$ del punto $C$ . Obtenemos las coordenadas respecto a $O 1$ en la base vectorial del sólido "0"

$\begin{array}{c} A(R,0,0)_{0}\qquad B(2R,0,0)_{0}\qquad C(3R/2,\sqrt{3}R/2,0)_{0}\\ \\ \overrightarrow{O_1C}=\dfrac{3R}{2}\,\vec{\imath}_0+\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\,\vec{k}_0 \end{array}$

Podemos plantear ahora la ecuación obtenida a partir del campo de velocidades

$\begin{array}{c} v_0\,\vec{\jmath}_0 = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\\omega_{21}&0&0\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=-\omega_{21}\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\ \vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

La reducción del movimiento {21} en $O 1$ es

$\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0&\qquad& \vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ \Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1X_0&& \end{array}$

2.2 Movimiento {01}

Hemos de calcular la velocidad angular $\vec{\omega}_{01}$ . El punto $O_1</math> es también un punto fijo en {01}, pues pertenece al eje de giro, entonces

$\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}$

Por definición, el sólido "0" se mueve de modo que el punto $C$ esta siempre en el plano $O 1 X 0 Z 0$ . Entonces $C$ es un punto fijo en el movimiento {20}, y por tanto

$\vec{v}_{20}^C=\vec{0}$

Ahora bien, usando la regla de composición podemos escribir

$\vec{v}_{21}^C =\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{01}^C\Rightarrow\vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{21}^C-\vec{v}_{20}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0$

Pero podemos escribir $\vec{v}_{01}^C$ usando el campo de velocidades del sólido en el movimiento {01}

$\begin{array}{c} \vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\0&0&\omega_{01}\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=\dfrac{3R}{2}\omega_{01}\,\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\ \vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0 \end{array}$

La reducción de {01} en $O 1$ es

$\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_1&\quad\quad& \vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EPR}}\quad\equiv\quad O_1Z_1&& \end{array}$

2.3 Movimiento {20}

Determinamos la velocidad angular a partir de la composición {20} = {21} + {10}

$\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}= -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0$

El punto $O 1$ pertenece al eje instantáneo de {21} y {01}. Entonces también pertenece al eje del movimiento {20}. Tenemos

$\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{v}_{10}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}-\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}$

La reducción en $O 1$ queda

$\begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0 &\qquad& \vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1C\quad\equiv\quad\lambda\,\vec{\omega}_{20} \end{array}$

2.4 Vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$

Una vez reducido el movimiento {20} en $C$ , podemos aplicar la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido para calcular $\vec{v}_{20}^B$

$\vec{v}_{20}^B = \vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\-2v_0/\sqrt{3}R&0&-2v_0/3R\\R/2&0&-\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=-\dfrac{4v_0}{3}\,\vec{\jmath}_0$

Calculamos la aceleración $\vec{a}_{21}^B$ aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} y partiendo del punto fijo de este movimiento, $O 1$ . Necesitamos el vector $\vec{\alpha}_{21}$ . Podemos obtenerlo derivando $\vec{\omega}_{21}$

$\vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1= -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left(\left.\dfrac{\mathrm{d} \vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_0+ \vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0\right)= -\dfrac{4v_0^2}{3\sqrt{3}R^2}\,\vec{\jmath}_0$

Con esto podemos calcular el vector pedido

$\vec{a}_{21}^B = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=\dfrac{8v_0^2}{3\sqrt{3}R}\,\vec{k}_0$

En a figura siguiente se muestran los ejes instantáneos de rotación de los tres movimientos analizados en el problema, así como los dos vectores pedidos.

Esfera sobre dos raíles (G.I.A.)

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Movimiento {21}

2.2 Movimiento {01}

2.3 Movimiento {20}

2.4 Vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$

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2.3 Movimiento {20}

2.4 Vectores y

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2.4 Vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$