F1 GIA SPC 2015, Disco rodando sin deslizar ni pivotar

De Laplace

1 Enunciado

Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre en contacto (puntual) con un plano $Π 1 = O X 1 Y 1$ (sólido "1") y de manera que, en cada instante, el radio $C D$ desde el centro $C$ del disco hasta el punto $D$ en contacto con $Π 1$ , es perpendicular a dicho plano. El movimiento del disco respecto del plano $Π 1$ se caracteriza porque no presenta ni deslizamiento en el punto $D$ de contacto, ni tampoco pivotamiento con respecto a dicho plano. Para describir más fácilmente el movimiento, se introduce un sistema de referencia intermedio (sólido "0" ), tal que $O Z 0 = O Z 1$ , y que el plano $\Pi_0\equiv OX_0Z_0$ contenga en cada instante al radio $C D$ . El centro $C$ del disco realiza, en el plano $Π 0$ , un movimiento rectilíneo uniforme por el cuál se aleja del eje $O Z 0,1$ a velocidad constante $v 0$ ; mientras, $Π 0$ realiza una rotación permanente en torno a dicho eje, en sentido antihorario y con velocidad angular variable $Ω(t) = v 0 / (R + v 0 t)$ . En el instante inicial, $t = 0$ , el centro del disco se encuentra en la posición dada por el segmento orientado $\overrightarrow{OC}=R\,(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0)$ ; es decir, a una distancia $R$ del eje $O Z 0,1$ .

Encuentre la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $C$ .

2 Solución

Tal como se indica en el dibujo tenemos

$\vec{v}^C_{20} = v_0\,\vec{\imath}_0$

El enunciado dice que el disco no desliza en el punto $D$ , por tanto

$\vec{v}^D_{21} = \vec{0}$

También dice que el disco no pivota, es decir, el vector rotación $\vec{\omega}_{21}$ no tiene componente perpendicular al plano

$\vec{\omega}_{21} = \omega_x\,\vec{\imath}_0 + \omega_y\,\vec{\jmath}_0$

Del enunciado también sabemos que

$\vec{\omega}_{01} = \Omega(t)\,\vec{k}_{0,1} = \dfrac{v_0}{R+v_0t}\,\vec{k}_{0,1}$

También sabemos que los puntos del eje $O Z 0,1$ no se mueven en el movimiento {01}, esto es

$\vec{v}^O_{01} = \vec{0}$

Vamos a calcular $\vec{v}^C_{21}$ usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}. Tenemos

$\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20} + \vec{v}^C_{01}$

Tenemos ya el el primer sumando. Usamos el teorema de Chasles aplicado al movimiento {01} para calcular el segundo

$\vec{v}^C_{01} = \vec{v}^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}$

Si en el instante inicial $\overrightarrow{OC}(0)= R\,(\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0)$ y el punto $C$ realiza un movimiento rectilíneo uniforme sobre el eje $O X 0$ tenemos

$\overrightarrow{OC}(t) = (R+v_0t)\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0$

Haciendo el producto vectorial

$\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = \left(\dfrac{v_0}{R+v_0t}\,\vec{k}_0\right)\times\left((R+v_0t)\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0\right)= v_0\,\vec{\jmath}_0$

y por tanto

$\vec{v}^C_{21} = v_0\,(\vec{\imath}_0 + \vec{\jmath}_0)$

Ahora aplicamos el teorema de Chasles al movimiento {21} para relacionar las velocidades en los puntos $C$ y $D$ .

$\vec{v}^D_{21} = \vec{v}^C_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}$

El vector geométrico es $\overrightarrow{CD}=-R\,\vec{k}_0$ . Tenemos

$\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD} = (\omega_x\,\vec{\imath}_0 + \omega_y\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0) = -R\omega_y\,\vec{\imath}_0 +R\omega_x\,\vec{\jmath}_0$