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Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)

De Laplace

Contenido

1 Comparación de velocidades relativas de dos sólidos

Se tienen dos vagonetas A y B (sólidos “2” y “0”), que avanzan por raíles sobre el suelo horizontal (sólido “1”). En un momento dado las vagonetas se mueven paralelamente respecto al suelo con velocidades

\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{01}=v_0\vec{\imath}

El vector de posición relativo entre las dos vagonetas es

\overrightarrow{AB}=a\vec{\jmath}

Los ejes de los tres sistemas se toman paralelos de forma que los vectores de las respectivas bases son coincidentes en ese instante.

Halle las velocidades relativas \vec{v}^A_{20} y \vec{v}^B_{02} en los siguientes casos:

  1. Las vagonetas se mueven por vías rectilíneas paralelas.
  2. La vagoneta A se mueve por una vía circular de radio R, mientras que B se mueve por una vía rectilínea. El instante descrito es el de máximo acercamiento entre las dos vías.
  3. Las dos se mueven por vías circulares concéntricas, de radios R y R + a, respectivamente.
  4. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros en lados opuestos
  5. Las dos se mueven por arcos de circunferencia de radio R con centros hacia el mismo lado
Archivo:Vagonetas1.png Archivo:Vagonetas2.png Archivo:Vagonetas3.png
(1) (2) (3)
Archivo:Vagonetas4.png Archivo:Vagonetas5.png
(4) (5)

2 Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud L=50\,\mathrm{cm}. La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido 1) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.

En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que tg(θ) = 4 / 3 . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen \dot{\theta}=3\,\mathrm{rad}/s, \ddot{\theta}=12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2. Para este instante:

  1. Calcule las velocidades \vec{v}^B_{21}, \vec{v}^B_{20} y \vec{v}^B_{01}. Indique su dirección y sentido gráficamente.
  2. Halle las aceleraciones \vec{a}^B_{21}, \vec{a}^B_{20} y \vec{a}^B_{01}.
Archivo:biela-manivela-instantanea.png

3 Disco con eje en vástago

El sólido rígido 0 del mecanismo de la figura se corresponde con un vástago OC de longitud 3R que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo O, permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo O1Z1 (sólido 1). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de O1Z1 con velocidad angular constante de módulo |\vec{\omega}_{01}|=2\,\omega y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo O se desplaza sobre el eje vertical O1Z1 en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta |\vec{v}_{01}^{\,O}|=v. El extremo C del sólido “0” está articulado al centro de un disco de radio R (sólido “2”), siempre contenido en el plano vertical OX0Z0; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a OY0 que pasa por C, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante cuyo módulo es |\vec{\omega}_{20}|=\omega. Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido 0, OX0Y0Z0, para expresar las magnitudes vectoriales, determine:

  1. El vector velocidad angular \vec{\omega}_{21} y el vector aceleración angular \vec{\alpha}_{21}, correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
  2. Las velocidades del punto A del perímetro del disco en el instante en que aquél ocupa el extremo más alto del diámetro vertical (ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: \vec{v}_{01}^A, \vec{v}_{20}^A y \vec{v}_{21}^A
  3. Las aceleraciones \vec{a}_{01}^A, \vec{a}_{20}^A y \vec{a}_{21}^A para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.
Archivo:disco-eje-vastago.png

4 Bola en canal circular

Una bola (sólido “2”), de radio R=15\,\mathrm{cm}, se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos (sólido “1”), de radios a=7\,\mathrm{cm} y b=25\,\mathrm{cm}, situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de esta esfera es tal que:

  • en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y
  • su centro C realiza un movimiento circular uniforme con celeridad v_{0}=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s} y en sentido antihorario respecto al eje O1Z1.

Consideramos como sólido móvil intermedio (sólido 0) al plano O1X0Z0 que contiene en todo instante al centro C de la esfera (ver figura).

  1. Halle los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
  2. Halle la reducción cinemática canónica de cada movimiento.
  3. Para el punto de la pelota en contacto con el carril de mayor radio (punto B), determine \vec{v}_{20}^{B} y \vec{a}_{21}^B.
Archivo:bola-canal-dk.png

5 Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { x=0\,, z=L\,} (con L\neq 0\,); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { y=0\,, z=-L\,}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

6 Barra deslizante en armazón rotatorio

El armazón de barras paralelas a los ejes OX0 y OZ0 (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo OZ1, de tal modo que el eje OX0 permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX1Y1 (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud L, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y \varphi (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

  1. \vec{v}^{A}_{01}, \vec{v}^{A}_{20} y \vec{v}^{A}_{21}.
  2. \vec{v}^{B}_{01}, \vec{v}^{B}_{20} y \vec{v}^{B}_{21}.
  3. \vec{\alpha}_{21}, \vec{a}^{A}_{21} y \vec{a}^{B}_{21}.
Archivo:barra-deslizante-rotante.png

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

7 Movimiento relativo de dos ventiladores

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia L) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a ω, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo OXYZ (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine

  1. \vec{\omega}_{20} y \vec{\alpha}_{20}
  2. \vec{v}^{O}_{20} y \vec{a}^{O}_{20};
  3. El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.
Archivo:ventiladores-enfrentados.png

Nota: Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

8 Movimiento del gancho de una grúa

El movimiento del gancho de una grúa se puede describir empleando tres coordenadas: su altura z respecto al suelo, la distancia ρ del carro al mástil de la grúa, y el ángulo \varphi que gira la pluma alrededor del mástil. En un momento dado se conocen los valores de estas tres coordenadas (ρ, \varphi, z), así como los de sus derivadas primeras (\dot{\rho}, \dot{\varphi}, \dot{z}) y segundas (\ddot{\rho}, \ddot{\varphi}, \ddot{z}) respecto al tiempo. Con esta información, determine la velocidad y aceleración del gancho respecto al suelo.

Archivo:grua.jpg

9 Silla giratoria (Ex.Dic/12)

Una placa cuadrada (sólido "0") de lado L\,, que se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano O_1X_1Y_1\, del triedro fijo O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), está rotando con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su centro O\, (eje O_1Z_1\,). A su vez, una placa rectangular ABCD (sólido "2"), de dimensiones L\times(L/2)\, y vinculada a la placa cuadrada mediante un par de bisagras en su lado AB, está rotando con velocidad angular constante 2\Omega\, (en el sentido indicado en la figura) respecto a la placa cuadrada.

Expresando las magnitudes vectoriales en la base asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\, de la figura, el cual se mueve solidariamente con la placa cuadrada "0", determine:

  1. Reducción cinemática canónica de los movimientos {01} y {20}.
  2. Velocidades \vec{v}^{\, C}_{01}\,, \vec{v}^{\, C}_{20}\, y \vec{v}^{\, C}_{21}\, para el instante particular representado en la figura, el cual corresponde a la placa rectangular ABCD en posición vertical por encima de la placa cuadrada.
  3. Aceleraciones \vec{a}^{\, C}_{01}\,, \vec{a}^{\, C}_{20}\, y \vec{a}^{\, C}_{21}\, para el mismo instante del apartado anterior.

10 Hélice de avión en rotación

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ1 de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L en el sistema de referencia fijo OX1Y1Z1 (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es |\vec{\omega}_{01}| = \Omega y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es R, rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante |\vec{\omega}_{20}| = \omega y con el sentido indicado en la figura. Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad \vec{v}^P_{21} y la aceleración \vec{a}^P_{21} del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
  4. Calcule numéricamente \vec{v}^P_{21} y \vec{a}^P_{21} para los valores R = 1\,\mathrm{m}, L = 100\,\mathrm{m}, \omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} y \Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Archivo:helice-avion-rotacion.png

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

11 No Boletín - Barra deslizante en armazón rotatorio II (Ex.Feb/17)

El armazón de barras paralelas a los ejes OX_0\, y OZ_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\, con velocidad angular de módulo constante \Omega\, y en el sentido que se indica en la figura, permaneciendo el eje OX_0\, siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). Mientras tanto, la varilla AB\, (sólido "2"), de longitud L\,, desliza sus extremos A\, y B\, a lo largo de los ejes OZ_0\, y OX_0\,, respectivamente, de tal modo que su velocidad angular respecto al armazón de barras tiene módulo constante \Omega\, y el sentido correspondiente al crecimiento del ángulo \theta\, que se define en la figura. Sea \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,.

  1. ¿Por qué punto del plano OX_0Z_0\, pasa el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,?
  2. ¿Cuánto valen la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\, y la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\,?



12 No Boletín - Bola en canal rectilíneo (Ex.Sep/15)

Una bola (sólido "2") de radio R\, se desplaza sobre dos carriles rectilíneos paralelos fijos (sólido "1") separados entre sí una distancia R\,. El movimiento de la bola es tal que: i) en todo instante rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro C\, realiza un movimiento rectilíneo y uniforme con celeridad v\,. Llamamos A\, y B\,\, respectivamente a los puntos de contacto entre la bola y cada uno de los carriles, y definimos el triedro fijo \,O_1X_1Y_1Z_1\, de la figura.

  1. Determine el eje instantáneo de rotación del movimiento \{21\}.\,
  2. Calcule la aceleración instantánea \,\vec{a}^{\, A}_{21}.\,



13 No Boletín - Composición de aceleraciones angulares (Ex.Ene/12)

Dados tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2"), se conocen como funciones del tiempo las siguientes velocidades angulares:

\vec{\omega}_{01}(t)=\alpha_0t\,\vec{k}_0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\jmath}_0        (\alpha_0\, y \Omega\, son constantes conocidas)

donde \{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\, es una base ortonormal que se mueve solidariamente con "0".

Determine la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}(t)\,

14 No Boletín - Composición de dos rotaciones concurrentes (Ex.Dic/11)

Se tienen tres sólidos tales que el movimiento relativo {20} es una rotación en torno al eje {x=y\,, z=0\, } y el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno al eje {x=z\,, y=0\, }. Las velocidades angulares de ambos movimientos tienen el mismo módulo |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\omega_0\, y sus respectivas componentes-\!x\, son ambas positivas.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

15 No Boletín - Composición de dos rotaciones paralelas (Ex.Jun/13)

Considérese una terna de sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tal que los movimientos relativo {20} y de arrastre {01} son sendas rotaciones paralelas. El EIR{20} es la recta {\,\,x=0\,, y=L\neq 0\,}, mientras que el EIR{01} es la recta {\,\,x=0\,, y=-L\,}. Las velocidades angulares relativa \vec{\omega}_{20}\, y de arrastre \vec{\omega}_{01}\, apuntan ambas en el sentido positivo del eje cartesiano al cual son paralelas, y sus respectivos módulos son los siguientes:

|\vec{\omega}_{20}|=\Omega\neq 0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |\vec{\omega}_{01}|=2\,\Omega
  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

16 No Boletín - Cono sobre plano horizontal (Ex.Ene/18)

Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de \pi/6\,\,\mathrm{rad}\, en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal OX_1Y_1\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), manteniendo su vértice fijo en el punto O\, y teniendo en cada instante una generatriz OG\, en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil OX_0Y_0Z_0\, (sólido "0"), cuyo eje OZ_0\, coincide con el eje OZ_1\,, y cuyo plano OX_0Z_0\, contiene siempre al centro C\, de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría OZ_2\, del cono. Se conoce como dato que \vec{\omega}_{01}(t)= \Omega\,\vec{k}_1\, (siendo \Omega\, una constante positiva). Sea \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,.

  1. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación del movimiento \{21\}\,?
  2. Determine la velocidad angular \vec{\omega}_{20}\,.
  3. Determine la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,.

17 No Boletín - Cuestión sobre rodar, pivotar y deslizar (Ex.Sep/14)

Una esfera (sólido "2") se mueve sobre el plano z=0\, (sólido "1") de cierto sistema de referencia OXYZ, manteniéndose en todo instante el contacto puntual esfera-plano. La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto de contacto C\, viene dada por:

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\vec{k}\,\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{\imath}\,\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \end{array}\right.

¿Cuál de las siguientes descripciones del movimiento de la esfera respecto al plano z=0\, es la correcta?

(a) Rodadura y pivotamiento, sin deslizamiento.

(b) Rodadura y deslizamiento, sin pivotamiento.

(c) Pivotamiento y deslizamiento, sin rodadura.

(d) Rodadura, pivotamiento y deslizamiento.

18 No Boletín - Detección de identidad falsa (Ex.Jun/13)

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") en movimiento relativo. ¿Cuál de las siguientes identidades es falsa?

1) \vec{v}_{21}^{\, P}=\vec{v}_{20}^{\, P}+\vec{v}_{01}^{\, Q}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{QP}

2) \vec{a}_{21}^{\, P}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{v}_{20}^{\, P}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{v}_{01}^{\, P}}{dt}\right|_1+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^{\, P}

3) \vec{\alpha}_{21}=\displaystyle\left.\frac{d\vec{\omega}_{20}}{dt}\right|_0+\left.\frac{d\vec{\omega}_{01}}{dt}\right|_1+ \vec{\omega}_{20}\times\vec{\omega}_{01}

4) \vec{\omega}_{01}\cdot\vec{\alpha}_{21}=\vec{\omega}_{01}\cdot(\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01})

19 No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

Mediante un par de revolución, el plano OX_0Z_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\equiv OZ_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, de forma que el eje OX_0\, permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro C\, y radio R\,, contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,, rueda sobre el eje horizontal OX_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, mientras que su centro C\, avanza con velocidad relativa \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\omega R\,\vec{\imath}_0\,. Se denomina A\, al punto de contacto entre el disco y el eje OX_0\,. Las magnitudes cinemáticas que se piden a continuación se refieren al instante representado en la figura, en el que \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0\,. Se pide:

  1. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  2. Velocidad \vec{v}^{\, A}_{21}\,
  3. Aceleración \vec{a}^{\, A}_{21}\,

20 No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

Mediante un par de revolución, el plano OX_0Z_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\equiv OZ_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, de forma que el eje OX_0\, permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro C\, y radio R\,, contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,, rueda sin deslizar sobre el eje vertical OZ_0\,, moviéndose su centro C\, con velocidad relativa \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\, (donde v\, es una constante positiva). Sea \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo A\, el punto de contacto entre el disco y el eje OZ_0\,, y siendo B\, el punto del disco diametralmente opuesto al punto A\,.

  1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,?
  2. ¿Cuánto vale la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\,?
  3. ¿Cuánto vale la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\,?

21 No Boletín - Disco en barra ranurada (Ex.Ene/12)

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal OB\, (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante \Omega\, alrededor del eje vertical O_1Z_1\, del triedro fijo O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio R\,, contenido en todo instante en el plano vertical OX_0Z_0\,, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante 2\,\Omega\,, mientras que su centro C\, se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante 4\,\Omega R\, en el sentido positivo del eje OX_0\,. En el instante representado en la figura, y al que se refieren las siguientes preguntas, el centro C\, del disco se halla a distancia 2R\, del extremo O\, de la barra, y se denomina A\, al punto del disco que ocupa la posición más alta.

  1. Determine la posición del EIR{20}
  2. Calcule la velocidad instantánea \vec{v}^{A}_{21}\,
  3. Calcule la aceleración instantánea \vec{a}^{\, O}_{21}\,


22 No Boletín - Disco rotatorio sobre plataforma rotatoria (Ex.Ene/13)

Una plataforma horizontal circular (sólido "0") rota con velocidad angular de módulo constante \omega\, (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical OZ_1\equiv OZ_0\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"). Al mismo tiempo, un disco de radio R\, (sólido "2") se mueve respecto a la plataforma "0" rotando con velocidad angular de módulo constante \Omega\, (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje OX_0\,. Se pide:

  1. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  2. Velocidad instantánea \vec{v}^{\, A}_{21}\,
  3. Aceleración instantánea \vec{a}^{\, B}_{21}\,

23 No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

La varilla rígida AB\, (sólido "0"), de longitud 2L\,, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical OZ_{1}\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje OZ_{1}\,. La varilla "0" rota alrededor del eje OZ_{1}\, con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo A\, recorre el citado eje OZ_{1}\, con celeridad constante v_0\, (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida CD\, (sólido "2"), de longitud L\,, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro C\, de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por C\,. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje AX_{0}\,) con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura). Sea \{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro AX_0Y_0Z_0\, (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad \vec{v}^{\, C}_{01}\,
  2. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  3. Aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\,

24 No Boletín - Dos varillas con extremo común (Ex.Sep/14)

Dos varillas rígidas idénticas, de longitud L\,, de extremo común A\,, y que denominaremos sólidos "2" y "0", se hallan contenidas en todo instante en los planos OXZ\, y OYZ\,, respectivamente (ver figura). El sistema se mueve de forma que el extremo común A\, recorre el eje OZ\,, el extremo B\, de la varilla "2" recorre el eje OX\,, y el extremo C\, de la varilla "0" recorre el eje OY\,. Se sabe además que el ángulo que forma cada una de las varillas con el eje OZ\, (según se define en la figura) obedece la ley horaria \theta(t)=\omega t\, (donde \omega\, es una constante positiva conocida).

Considerando como movimiento-problema el movimiento relativo de una varilla respecto a la otra (movimiento \{20\}\,), se pide:

  1. Velocidad angular \vec{\omega}_{20}\, y aceleración angular \vec{\alpha}_{20}\,.
  2. Velocidad instantánea \vec{v}^{\, O}_{20}\, y aceleración instantánea \vec{a}^{\, O}_{20}\,.
  3. Eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,.

25 No Boletín - Placa triangular (Ex.Ene/16)

Una placa triangular \,ABC\, (sólido "2"), equilátera de lado \,L\,, rota con velocidad angular constante \,\Omega_0\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado \,AB\, de un armazón triangular hueco \,ABO\, (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón \,ABO\, se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano \,O_1X_1Y_1\, del triedro fijo \,O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), y rota con velocidad angular constante \,\omega_0\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice \,O\, (eje \,O_1Z_1\,). Sea \,\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro \,OX_0Y_0Z_0\, (sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular \,ABO.\,

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad \,\vec{v}^{\, D}_{21}\, (ver \,D\, en la figura)
  2. Aceleración angular \,\vec{\alpha}_{21}\,
  3. Aceleración \,\vec{a}^{\, O}_{21}\,

26 No Boletín - Varilla que desliza en aro giratorio

El sistema de la figura está constituido por un aro rígido (sólido “0”), de centro C y radio R\,, que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo AB\, contenido en el eje AZ_1\, del triedro AX_1Y_1Z_1\, (sólido “1”); y por una varilla rígida PQ\, (sólido “2”), de centro G\,, cuyos extremos se hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos \varphi y \theta\, definidos en la figura, determine:

  1. \vec{\omega}_{21}\,, \vec{\alpha}_{21}\, y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
  2. \vec{v}^{\, P}_{21}\, y \vec{a}^{\, P}_{21}\, en el instante en que el extremo P\, de la varilla pasa por el punto más alto del aro (punto B\,).
Archivo:varilla-deslizante-aro.png

Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de la figura, cuyo plano vertical AX_0Z_0\, contiene al aro en todo instante.

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