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No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio II (Ex.Ene/20)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano OX_0Z_0\, (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo OZ_1\equiv OZ_0\, en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante \omega\,, de forma que el eje OX_0\, permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo OX_1Y_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro C\, y radio R\,, contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,, rueda sin deslizar sobre el eje vertical OZ_0\,, moviéndose su centro C\, con velocidad relativa \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0\, (donde v\, es una constante positiva). Sea \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,. Las cuestiones planteadas a continuación se refieren al instante representado en la figura, siendo A\, el punto de contacto entre el disco y el eje OZ_0\,, y siendo B\, el punto del disco diametralmente opuesto al punto A\,.

  1. ¿Dónde se halla el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\,?
  2. ¿Cuánto vale la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\,?
  3. ¿Cuánto vale la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\,?

2 Eje instantáneo de rotación del movimiento {20}

Conocemos las velocidades de dos puntos en el movimiento {20}: la del centro C\, del disco (dato del enunciado) y la del punto A\, de contacto entre el disco y el eje OZ_0\, (nula por no existir deslizamiento entre el disco y el eje OZ_0\,). Relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades {20}, podemos deducir el valor de la velocidad angular \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\, (nótese que la dirección propuesta para \vec{\omega}_{20}\, es la única compatible con que el disco permanezca contenido en todo instante en el plano OX_0Z_0\,):

\left.\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{20}=\vec{v}^{\, A}_{20}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v\,\vec{k}_0=\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0\,\times R\,\vec{\imath}_0 \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, -\,v=-\,\omega_{20}R \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\omega_{20}=\frac{v}{R}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}(t)=\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0

Obsérvese que el valor obtenido para la velocidad angular {20} tiene validez permanente en el tiempo, ya que en todo instante puede repetirse la deducción de este mismo valor relacionando la velocidad del centro del disco (conocida con carácter permanente) y la velocidad del punto de contacto disco-eje OZ_0\, de ese instante.

Como respuesta a la primera cuestión que plantea el problema, podemos afirmar que el eje instantáneo de rotación del movimiento \{20\}\, pasa por el punto A\, (cuya velocidad {20} es nula) y es paralelo al eje OY_0\, (dirección de la velocidad angular {20}).

3 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado, junto a los resultados obtenidos en el apartado anterior, nos permiten expresar en la base vectorial \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto A\,) y del movimiento {20} (en el punto C\,), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=-\,v\,\vec{k}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CB}=R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.

donde se ha tenido en cuenta que el punto A\, pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje OZ_1\equiv OZ_0\,), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\left(\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\right)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\,v\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.

4 Velocidad instantánea {21} del punto B

Para determinar la velocidad \vec{v}^{\, B}_{21}\,, calculamos primero las velocidades \vec{v}^{\, B}_{20}\, y \vec{v}^{\, B}_{01}\, utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

\begin{array}{l} \vec{v}^{\, B}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=-\,v\,\vec{k}_0+\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0=-\,2v\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, B}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0 \end{array}

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto B\,:

\vec{v}^{\, B}_{21}=\vec{v}^{\, B}_{20}+\vec{v}^{\, B}_{01}=2\,(\,\omega R\,\vec{\jmath}_0-\,v\,\vec{k}_0\,)

5 Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\, se calcula así:

\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración \vec{a}^{\, B}_{20}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CB})=\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times\left[\,\displaystyle\frac{v}{R}\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{\imath}_0\right]=-\displaystyle\frac{v^2}{R}\,\vec{\imath}_0

la aceleración \vec{a}^{\, B}_{01}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

\vec{a}^{\, B}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AB}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AB})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\,2v\,\vec{k}_0)=\vec{0}

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración \vec{a}^{\, B}_{21}\,:

\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}=-\displaystyle\frac{1}{R}(v^2+2\,\omega^2 R^2)\,\vec{\imath}_0
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