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No Boletín - Disco en barra ranurada (Ex.Ene/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal OB\, (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante \Omega\, alrededor del eje vertical O_1Z_1\, del triedro fijo O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio R\,, contenido en todo instante en el plano vertical OX_0Z_0\,, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante 2\,\Omega\,, mientras que su centro C\, se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante 4\,\Omega R\, en el sentido positivo del eje OX_0\,. En el instante representado en la figura, y al que se refieren las siguientes preguntas, el centro C\, del disco se halla a distancia 2R\, del extremo O\, de la barra, y se denomina A\, al punto del disco que ocupa la posición más alta.

  1. Determine la posición del EIR{20}
  2. Calcule la velocidad instantánea \vec{v}^{A}_{21}\,
  3. Calcule la aceleración instantánea \vec{a}^{\, O}_{21}\,

2 Datos del problema

Comenzamos expresando en la base vectorial \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,, asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\,, los datos que se deducen del enunciado:

\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0    ;        \vec{\omega}_{20}(t)=-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0    ;        \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0    ;        \overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0    ;        \overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0

3 Posición del EIR{20} en el instante representado en la figura

Sabemos que el EIR{20} tiene la dirección de \vec{\omega}_{20}\,. Por tanto, se trata de una recta paralela al eje OY_0\, (perpendicular al plano OX_0Z_0\,). Para calcular un punto I\, que pertenezca al eje EIR{20}, utilizamos la fórmula habitual:

\overrightarrow{CI}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, C}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}}=\frac{-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0\times 4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0}{4\,\Omega^{2}}=2R\,\vec{k}_0

NOTA: Este ejercicio se puso en un examen tipo test, en el cual la respuesta correcta para definir la posición del punto I\, por el que pasa el EIR{20} era: \overrightarrow{AI}=R\,\vec{k}_0\,, que evidentemente es equivalente a \overrightarrow{CI}=2R\,\vec{k}_0\, por ser \overrightarrow{CA}=R\,\vec{k}_0 .

En definitiva, las ecuaciones del EIR{20} en el triedro OX_0Y_0Z_0\, son:

\frac{x_0-2R}{0}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0-2R}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{x_0 = 2R, \,\, z_0 = 2R\}

4 Velocidad absoluta del punto A en el instante representado en la figura

Empezamos calculando la velocidad relativa del punto A\, (\vec{v}^{\, A}_{20}\,) a partir de la velocidad relativa del punto C\, (\vec{v}^{\, C}_{20}\,) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:

\vec{v}^{\, A}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0+(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times R\,\vec{k}_0=2\,\Omega R\,\vec{\imath}_0

A continuación, calculamos la velocidad de arrastre del punto A\, (\vec{v}^{\, A}_{01}\,) a partir de la velocidad de arrastre del punto O\, (\vec{v}^{\, O}_{01}\,) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}:

\vec{v}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\,\vec{k}_0\times (\,\underbrace{2R\,\vec{\imath}_0}_{\overrightarrow{OC}}+\underbrace{R\vec{k}_0}_{\overrightarrow{CA}}\,)=2\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0

donde se ha tenido en cuenta que el punto O\, pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01}, es decir, se trata de un punto fijo en dicho movimiento y, por tanto, \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0}\, (y también \vec{a}^{\, O}_{01}=\vec{0}\,, tal como utilizaremos después).

Finalmente, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad absoluta del punto A\, (\vec{v}^{\, A}_{21}\,):

\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\Omega R\,\vec{\imath}_0+2\,\Omega R\,\vec{\jmath}_0=2\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)

5 Aceleración absoluta del punto O en el instante representado en la figura

Hallamos primero la aceleración relativa del punto O\, (\vec{a}^{\, O}_{20}\,) a partir de la aceleración relativa del punto C\, (\vec{a}^{\, C}_{20}\,) mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:

\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\overrightarrow{CO}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO})=(\,\underbrace{\vec{\omega}_{20}\cdot\overrightarrow{CO}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,)\,\vec{\omega}_{20}-|\,\vec{\omega}_{20}|^{\, 2}\overrightarrow{CO}=-4\,\Omega^2(-2R\,\vec{\imath}_0)=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\imath}_0

donde se ha tenido en cuenta que:

\vec{a}^{\, C}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}(4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\vec{0}    ;        \vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\left.\frac{\mathrm{d}(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=\vec{0}

Por otra parte, tal como se adelantó antes, la aceleración de arrastre del punto O\, (\vec{a}^{\, O}_{01}\,) es nula:

\vec{a}^{\, O}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_{1}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_{1}=\vec{0}

Calculamos ahora el término de aceleración de Coriolis del punto O\,:

2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=2\,\Omega\,\vec{k}_0\times 4\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0-\vec{k}_0)=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\jmath}_0

donde se ha introducido el valor de \vec{v}^{\, O}_{20}\,, que se obtiene de:

\vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, C}_{20}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CO}=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0\,+\,(-2\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times (-2R\,\vec{\imath}_0)=4\,\Omega R\,\vec{\imath}_0-4\,\Omega R\,\vec{k}_0=4\,\Omega R\,(\vec{\imath}_0-\vec{k}_0)

Por último, determinamos la aceleración absoluta del punto O\, (\vec{a}^{\, O}_{21}\,) sumando las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis (ley de composición de aceleraciones):

\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\vec{a}^{\, O}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\imath}_0+8\,\Omega^{\, 2}R\,\vec{\jmath}_0=8\,\Omega^{\, 2}R\,(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)
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