No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}
3 Aceleración angular {21}
4 Velocidad instantánea {21} del punto A
5 Aceleración instantánea {21} del punto A

1 Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano $OX_0Z_0\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_1\equiv OZ_0\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega\,$ , de forma que el eje $OX_0\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_1Y_1\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$ , contenido en todo instante en el plano $OX_0Z_0\,$ , rueda sobre el eje horizontal $OX_0\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega\,$ , mientras que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa $\vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\omega R\,\vec{\imath}_0\,$ . Se denomina $A\,$ al punto de contacto entre el disco y el eje $OX_0\,$ . Las magnitudes cinemáticas que se piden a continuación se refieren al instante representado en la figura, en el que $\overrightarrow{OC}=2R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0\,$ . Se pide:

Aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$
Velocidad $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$
Aceleración $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado nos permiten expresar en la base vectorial $\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,$ , asociada al triedro $OX_0Y_0Z_0\,$ , las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto $O\,$ ) y del movimiento {20} (en el punto $C\,$ ), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

$\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\omega\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\omega R\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{OA}=2R\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{CA}=-R\,\vec{k}_0 \end{array}\right.$

habiéndose tenido en cuenta que el punto $O\,$ pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje $OZ_1\equiv OZ_0\,$ ), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

$\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega R\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.$

3 Aceleración angular {21}

Determinamos la aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

$\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{k}_0\times (\omega\,\vec{\jmath}_0)=-\,\omega^2\,\vec{\imath}_0$

4 Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$ , calculamos primero las velocidades $\vec{v}^{\, A}_{20}\,$ y $\vec{v}^{\, A}_{01}\,$ utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

$\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{20}=\displaystyle\vec{v}^{\, C}_{20}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}=\omega R\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{\jmath}_0\times (-R\,\vec{k}_0)=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0 \end{array}$

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto $A\,$ :

$\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=2\,\omega R\,\vec{\jmath}_0$

5 Aceleración instantánea {21} del punto A

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$ se calcula así:

$\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}$

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{20}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

$\vec{a}^{\, A}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{CA})=\omega\,\vec{\jmath}_0\times[\,\omega\,\vec{\jmath}_0\times (-R\,\vec{k}_0)]=\omega^2 R\,\vec{k}_0$

la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{01}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

$\vec{a}^{\, A}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OA}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{OA})=\omega\,\vec{k}_0\times(\omega\,\vec{k}_0\times 2R\,\vec{\imath}_0)=-2\,\omega^2 R\,\vec{\imath}_0$

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

$2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, A}_{20}=2\,\omega\,\vec{k}_0\times\vec{0}=\vec{0}$

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración $\vec{a}^{\, A}_{21}\,$ :

$\vec{a}^{\, A}_{21}=\vec{a}^{\, A}_{20}+\vec{a}^{\, A}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, A}_{20}=\omega^2 R\,(-2\,\vec{\imath}_0+\vec{k}_0)$

No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

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1 Enunciado

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

3 Aceleración angular {21}

4 Velocidad instantánea {21} del punto A

5 Aceleración instantánea {21} del punto A

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