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No Boletín - Placa triangular (Ex.Ene/16)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una placa triangular \,ABC\, (sólido "2"), equilátera de lado \,L\,, rota con velocidad angular constante \,\Omega_0\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado \,AB\, de un armazón triangular hueco \,ABO\, (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón \,ABO\, se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano \,O_1X_1Y_1\, del triedro fijo \,O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), y rota con velocidad angular constante \,\omega_0\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice \,O\, (eje \,O_1Z_1\,). Sea \,\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro \,OX_0Y_0Z_0\, (sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular \,ABO.\,

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad \,\vec{v}^{\, D}_{21}\, (ver \,D\, en la figura)
  2. Aceleración angular \,\vec{\alpha}_{21}\,
  3. Aceleración \,\vec{a}^{\, O}_{21}\,

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial \{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, las reducciones cinemáticas del movimiento \{01\}\, (en el punto O\,) y del movimiento \{20\}\, (en el punto D\!\,), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega_0\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, D}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{OD}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{DO}=-\,\overrightarrow{OD}=-\,\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.

habiéndose tenido en cuenta que el punto O\, es un punto fijo en el movimiento \{01\}\, porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje O_1Z_1\,), y que el punto D\, es un punto fijo en el movimiento \{20\}\, porque pertenece a su eje permanente de rotación (recta que pasa por los puntos \,A\, y \,B\,).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos \{01\}\, y \{20\}\, las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega_0\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, D}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, D}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.

3 Velocidad {21} del punto D

Para determinar la velocidad \vec{v}^{\, D}_{21}\,, calculamos primero la velocidad \vec{v}^{\, D}_{01}\, utilizando la ecuación del campo de velocidades \,\{01\}\,:

\begin{array}{l} \vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0 \end{array}

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto D\,:

\vec{v}^{\, D}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0

4 Aceleración angular {21}

Determinamos la aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \Omega_0\,\vec{\jmath}_0=\,-\,\omega_0\,\Omega_0\,\vec{\imath}_0

5 Aceleración {21} del punto O

La ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis) nos permite calcular la aceleración \vec{a}^{\, O}_{21}\,:

\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\vec{a}^{\, O}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}

Determinamos, primero, la aceleración \vec{a}^{\, O}_{20}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones \{20\}\,):

\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{DO}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,(\omega_{20}\,\times\,\overrightarrow{DO})=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left[\,\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0\right)\right]=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0

y, a continuación, el término de Coriolis:

2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DO})=2\,\omega_0\,\vec{k}_0\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\vec{0}

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración \vec{a}^{\, O}_{21}\,:

\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2 L\,\vec{\imath}_0
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