No Boletín - Composición de dos rotaciones paralelas (Ex.Jun/13)

De Laplace

1 Enunciado

Considérese una terna de sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tal que los movimientos relativo {20} y de arrastre {01} son sendas rotaciones paralelas. El EIR{20} es la recta { $\,\,x=0\,$ , $y=L\neq 0\,$ }, mientras que el EIR{01} es la recta { $\,\,x=0\,$ , $y=-L\,$ }. Las velocidades angulares relativa $\vec{\omega}_{20}\,$ y de arrastre $\vec{\omega}_{01}\,$ apuntan ambas en el sentido positivo del eje cartesiano al cual son paralelas, y sus respectivos módulos son los siguientes:

$|\vec{\omega}_{20}|=\Omega\neq 0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |\vec{\omega}_{01}|=2\,\Omega$

¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Clasificación del movimiento {21}

Tenemos la información necesaria para determinar los vectores $\vec{\omega}_{20}\,$ y $\vec{\omega}_{01}.\,$ El enunciado nos proporciona los valores de sus respectivos módulos $(|\,\vec{\omega}_{20}|=\Omega\,;\,\,|\,\vec{\omega}_{01}|=2\,\Omega)\,$ , la dirección de ambos $(\vec{\omega}_{20}\parallel\mathrm{EIR\{20\}} \parallel OZ \parallel\mathrm{EIR\{01\}}\parallel\vec{\omega}_{01})\,$ y el sentido de ambos $(+\vec{k})\,$ . Así que:

$\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}\;;\;\;\;\;\;\; \vec{\omega}_{01}=2\,\Omega\,\vec{k}$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=3\,\Omega\,\vec{k}$

Como se ha podido observar, el EIR{20} y el EIR{01} no son ejes concurrentes. Son ejes paralelos en este caso.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$ como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de $O\,$ nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos $A(0,L,0)\in\mathrm{EIR\{20\}}\,$ y $B(0,-L,0)\in\mathrm{EIR\{01\}}\,$ . Así:

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, O}_{01}=(\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,\overrightarrow{AO})\,+\,(\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{01}\,\times\,\overrightarrow{BO})=\Omega\,\vec{k}\,\times\,(-L\,\vec{\jmath}\,)\,+\,2\,\Omega\,\vec{k}\,\times\,L\,\vec{\jmath}=-\Omega L\,\vec{\imath}$

Calculamos ahora el segundo invariante:

$v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=\frac{3\,\Omega\,\vec{k}\cdot(-\Omega L\,\vec{\imath}\,)}{3\,\Omega}=0$

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es una rotación pura, ya que el primer invariante es no nulo y el segundo invariante es nulo:

$\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=3\,\Omega\,\vec{k}\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}= 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,$ {21} es una ROTACIÓN

3 Eje instantáneo de rotación del movimiento {21}

A continuación, determinamos un punto $I^{*}\,$ perteneciente al EIR{21} utilizando la fórmula:

$\overrightarrow{OI^{*}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\frac{3\,\Omega\,\vec{k}\times(-\Omega L\,\vec{\imath}\,)}{(3\,\Omega)^{\, 2}}=-\frac{L}{3}\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I^{*}\left(0,-\frac{L}{3},0\right)\in\mathrm{EIR\{21\}}$

Por otra parte, la dirección del EIR{21} es la dirección del vector velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ . En definitiva, las ecuaciones del EIR{21} son: