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No Boletín - Disco rotatorio sobre plataforma rotatoria (Ex.Ene/13)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una plataforma horizontal circular (sólido "0") rota con velocidad angular de módulo constante \omega\, (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical OZ_1\equiv OZ_0\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"). Al mismo tiempo, un disco de radio R\, (sólido "2") se mueve respecto a la plataforma "0" rotando con velocidad angular de módulo constante \Omega\, (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje OX_0\,. Se pide:

  1. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  2. Velocidad instantánea \vec{v}^{\, A}_{21}\,
  3. Aceleración instantánea \vec{a}^{\, B}_{21}\,

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Tanto el movimiento de arrastre {01} como el movimiento relativo {20} son rotaciones puras alrededor de sendos ejes fijos (ejes permanentes de rotación). En concreto, el EPR{01} es el eje OZ_1\equiv OZ_0\,, y el EPR{20} es el eje OX_0\,. Para caracterizar estos dos movimientos elementales, vamos a determinar sus reducciones cinemáticas en el punto donde se cortan sus respectivos ejes de rotación (punto O\,).

Las velocidades de arrastre \vec{v}^{\, O}_{01}\, y relativa \vec{v}^{\, O}_{20}\, son nulas por ser el punto O\, un punto fijo en ambos movimientos. Y los vectores velocidad angular \vec{\omega}_{01}\, y \vec{\omega}_{20}\, se deducen del enunciado (sus direcciones son las de los correspondientes ejes de rotación, sus módulos son las constantes especificadas, y sus sentidos son los indicados en la figura). Así pues, las reducciones cinemáticas de los movimientos {01} y {20} en el punto O\, son:

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=-\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones del punto O\, en los movimientos de arrastre y relativo:

\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.

3 Aceleración angular {21}

Determinamos \vec{\alpha}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{k}_0\times (-\Omega\,\vec{\imath}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0

4 Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad absoluta \vec{v}^{\, A}_{21}\,, calculamos primero las velocidades relativa \vec{v}^{\, A}_{20}\, y de arrastre \vec{v}^{\, A}_{01}\, utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{20}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\Omega R\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\omega\,\vec{k}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\omega R\,\vec{\imath}_0 \end{array}

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades:

\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)

5 Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta \vec{a}^{\, B}_{21}\, se calcula así:

\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa \vec{a}^{\, B}_{20}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-\Omega^2 R\,\vec{k}_0

la aceleración de arrastre \vec{a}^{\, B}_{01}\, (la cual es nula por pertenecer el punto B\, al EPR{01}, es decir, por ser B\, un punto fijo en el movimiento {01}):

\vec{a}^{\, B}_{01}=\vec{0}

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\,\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OB})=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta \vec{a}^{\, B}_{21}\,:

\vec{a}^{\, B}_{21}=\!\!\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{20}}_{-\Omega^2 R\,\vec{k}_0}\!\!\!+\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}}_{-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0}=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)

6 Procedimiento alternativo

Podemos utilizar un procedimiento alternativo, el cual consiste en determinar primero la velocidad angular y la aceleración angular del movimiento {21}, así como la velocidad y la aceleración de un punto arbitrario en el movimiento {21}, y -a partir de estas cuatro magnitudes- calcular posteriormente las otras magnitudes {21} que se nos piden. La única ley de composición que utilizaremos con este procedimiento es la de velocidades angulares.

Al ser los movimientos {01} y {20} rotaciones concurrentes (el EPR{01} y el EPR{20} se cortan en el punto O\,), sabemos que su composición (el movimiento {21}) es otra rotación cuyo eje también pasa por el punto de concurrencia. Quiere esto decir que el punto O\, pertenece permanentemente al EIR{21} y, por tanto, es un punto fijo en el movimiento {21}. Así que ya tenemos la velocidad y la aceleración de un punto en el movimiento {21} para todo instante de tiempo:

\vec{v}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}

Por otra parte, podemos calcular la velocidad angular del movimiento {21} mediante la correspondiente ley de composición:

\vec{\omega}_{21}(t)=\vec{\omega}_{20}(t)+\vec{\omega}_{01}(t)=-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0

y, derivándola respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula de Poisson), obtenemos la aceleración angular del movimiento {21}:

\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{21}=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0}_{\vec{0}}+\,\,\omega\,\vec{k}_0\,\times\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0\,+\,\,\omega\,\vec{k}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0

Y, por último, determinamos \vec{v}^{\, A}_{21}\, y \vec{a}^{\, B}_{21}\, utilizando, respectivamente, las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{21}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times R\,\vec{\jmath}_0=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0) \\ \\ \vec{a}^{\, B}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\alpha}_{21}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{21}\times(\omega_{21}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{k}_0\,+\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times[(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times\,R\,\vec{k}_0]=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0) \end{array}
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