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No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La varilla rígida AB\, (sólido "0"), de longitud 2L\,, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical OZ_{1}\, del triedro fijo OX_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje OZ_{1}\,. La varilla "0" rota alrededor del eje OZ_{1}\, con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo A\, recorre el citado eje OZ_{1}\, con celeridad constante v_0\, (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida CD\, (sólido "2"), de longitud L\,, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro C\, de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por C\,. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje AX_{0}\,) con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido mostrado en la figura). Sea \{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\, la base ortonormal asociada al triedro AX_0Y_0Z_0\, (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad \vec{v}^{\, C}_{01}\,
  2. Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}\,
  3. Aceleración \vec{a}^{\, C}_{21}\,

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (OZ_1\equiv OZ_0\,), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto A\, (las direcciones, los módulos y los sentidos de \vec{\omega}_{01}\, y \vec{v}^{\, A}_{01}\, se deducen del enunciado):

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (AX_0\,), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto C\, (\vec{v}^{\, C}_{20}\, es nula por pertenecer C\, al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de \vec{\omega}_{20}\, se deducen del enunciado):

\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos A\, y C\,, respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}

3 Velocidad {01} del punto C

La velocidad de arrastre \vec{v}^{\, C}_{01}\, se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:

\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0

4 Aceleración angular {21}

Determinamos \vec{\alpha}_{21}\, aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0

5 Aceleración {21} del punto C

Calculamos primero la aceleración de arrastre \vec{a}^{\, C}_{01}\, (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

\vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0

y después la sustituimos en la ley de composición de aceleraciones para obtener la aceleración absoluta \vec{a}^{\, C}_{21}\, (en este ejercicio se anulan los correspondientes términos de aceleración relativa y de aceleración de Coriolis):

\vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
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