5.5. Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

De Laplace

1 Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { $x=0\,$ , $z=L\,$ } (con $L\neq 0\,$ ); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { $y=0\,$ , $z=-L\,$ }. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: $|\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,$ , y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Solución

Tenemos la información necesaria para determinar los vectores $\vec{\omega}_{20}\,$ y $\vec{\omega}_{01}.\,$ El enunciado nos proporciona sus módulos $(|\,\vec{\omega}_{20}|=|\,\vec{\omega}_{01}|=\Omega)\,$ , sus direcciones $(\vec{\omega}_{20}\parallel\mathrm{EIR\{20\}} \parallel OY\,$ ; y $\vec{\omega}_{01}\parallel\mathrm{EIR\{01\}} \parallel OX)\,$ y sus correspondientes sentidos $(+\vec{\jmath}\,$ y $+\vec{\imath}\,)\,$ . Así que:

$\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{\jmath}\;;\;\;\;\;\;\; \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\imath}$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)$

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$ como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de $O\,$ nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos $A(0,0,L)\in\mathrm{EIR\{20\}}\,$ y $B(0,0,-L)\in\mathrm{EIR\{01\}}\,$ . Así:

$\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, O}_{01}=(\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,\overrightarrow{AO})\,+\,(\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{01}\,\times\,\overrightarrow{BO})=\Omega\,\vec{\jmath}\,\times\,(-L\,\vec{k}\,)\,+\,\Omega\,\vec{\imath}\,\times\,L\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)$

Calculamos ahora el segundo invariante:

$v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=-\sqrt{2}\,\Omega L$

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:

$\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}=-\sqrt{2}\,\Omega L\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,$ {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL

Obsérvese que la velocidad $\vec{v}^{\, O}_{21}\,$ ha resultado ser paralela a la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ . Esto implica que el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas $O\,$ . Por otra parte, la dirección del EIRMD{21} es la dirección del vector velocidad angular $\vec{\omega}_{21}\,$ . En definitiva, las ecuaciones del EIRMD{21} son:

$\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = x, \,\, z = 0\}$

Si por simple inspección no nos diésemos cuenta de que $\vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\vec{\omega}_{21}\,$ y que, por tanto, $O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}\,$ , lo detectaríamos al tratar de calcular un punto $I\,$ perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:

$\overrightarrow{OI^{*}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I^{*}\equiv O\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}$

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