5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}
- 2.1 Movimiento de arrastre {01}
- 2.2 Movimiento relativo {20}
3 Velocidad y aceleración de P
- 3.1 Velocidad absoluta de P
- 3.2 Aceleración absoluta de P
4 Reducción cinemática de {21}
5 Valores numéricos

1 Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ $1$ de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ en el sistema de referencia fijo OX $1$ Y $1$ Z $1$ (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es $|\vec{\omega}_{01}| = \Omega$ y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es $R$ , rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante $|\vec{\omega}_{20}| = \omega$ y con el sentido indicado en la figura. Se pide

La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad $\vec{v}^P_{21}$ y la aceleración $\vec{a}^P_{21}$ del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
Calcule numéricamente $\vec{v}^P_{21}$ y $\vec{a}^P_{21}$ para los valores $R = 1\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ , $\omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $\Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente $O Z 0 = O Z 1$ . Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

$\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es el propio eje $O Z 0$ .

2.2 Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

$\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es uno paralelo a $O Y 0$ y que pasa por C.

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

$\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}$

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

$\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0$

3.2 Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

$\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}$

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}: Es la de una rotación con velocidad angulkar constante en torno a un eje permanente

$\vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0$

Aceleración relativa {20}: Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.

$\vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0$

Término de Coriolis: Por último tenemos la contribución:

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0$

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

$\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0$

4 Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0$

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

$v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}$

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

$\overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}$

Sustituyendo las diferentes cantidades

$\overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)=\frac{-L\Omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI}=\frac{L\omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0+R\Omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

$\overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{\jmath}_0+\Omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{k}_0$

Haciendo

$\mu = \lambda +\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \mu(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje $O X 0$ y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a $O Y 0 Z 0$ .

Para los puntos de este eje, la reducción cinemática es

$\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^I_{21}\}=\left\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\frac{L\omega\Omega(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\omega^2+\Omega^2}\right\}$

5 Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

$\vec{v}^P_{21}= \omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0 = (100\vec{\imath}_0+100\vec{\jmath}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

con módulo

$v^P_{21}=141\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La aceleración en este mismo instante vale

$\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0 = (-100\vec{\imath}_0+200\vec{\jmath}_0-10000\vec{k}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

siendo su módulo

$a^P_{21}=10002\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\simeq 10^4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.

5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

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1 Enunciado

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

2.2 Movimiento relativo {20}

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

3.2 Aceleración absoluta de P

4 Reducción cinemática de {21}

5 Valores numéricos

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