De Laplace

1 Problemas del boletín

1.1 Movimiento de barra apoyada en planos no ortogonales

Una barra rígida (sólido “2”) de longitud

L

realiza un movimiento plano cuando sus extremos

A

y

B

deslizan, respectivamente, por un plano horizontal y otro inclinado (sólido “1”) que forman un ángulo

π / 4

.

Describa la reducción cinemática del movimiento {21} en términos del ángulo $θ$ y de su derivada temporal $\dot{\theta}$ , así como la posición del C.I.R.
Si el extremo $A$ realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad $v 0$ , obtenga el vector rotación $\vec{\omega}_{21}$ y su derivada temporal $\vec{\alpha}_{21}$ , en función de la posición de la barra.
En las condiciones del apartado anterior, obtenga la expresión de la velocidad y la aceleración del extremo $B$ .

1.2 Aro con deslizador

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto $O$ , y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $O X 1$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $O X 2 Y 2$ (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:

Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
Sabiendo que el ángulo $θ$ , que forman los ejes $O X 1$ y $A X 2$ , verifica la ley horaria $θ(t) = ω t$ (donde $ω$ es una constante conocida), calcular $\vec{v}_{21}^A(t)$ y $\vec{a}_{21}^C(t)$ .

1.3 CIR de un velocípedo

Los radios de las ruedas delantera (sólido "2") y trasera (sólido "0") de un velocípedo son $R$ y $r$ , respectivamente ( $R > r$ ); y los puntos de contacto de aquéllas con el suelo (sólido "1") están separados una distancia $d$ . Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {20}, sabiendo que las dos ruedas del velocípedo ruedan sin deslizar sobre el suelo.

1.4 C.I.R. de barras articuladas

Las barras $O C$ (sólido "0") y $A B$ (sólido "2") del sistema de la figura realizan sendos movimientos planos, contenidas ambas en el plano fijo $Π 1 = O X 1 Y 1$ (sólido "1"). Cuando el sistema está en movimiento, la barra "0" gira en el plano $Π 1$ con uno de sus extremos siempre fijado al punto $O$ ; el extremo $A$ de la barra "2" desliza siempre en contacto con el eje $O X 1$ ; el extremo $B$ de la barra “2” está obligado a recorrer la barra $O C$ (sólido "0") y, simultáneamente, deslizar por un carril fijado en el plano $Π 1$ , dispuesto en paralelo al eje $O Y 1$ .

En el instante mostrado en la figura, en que las barras $O C$ y $A B$ se disponen perpendicularmente, ¿qué posiciones ocupan los C.I.R. de los distintos movimientos relativos?

1.5 Placa empujando un disco

El cuadrado de la figura (sólido "0") realiza un movimiento plano cuando uno de sus lados desliza sobre un plano horizontal fijo (sólido "1"). El cuadrado empuja a un disco de radio $R$ (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre el plano "1".

Determine la posición de los C.I.R. de los diferentes movimientos en el instante reflejado en la figura.
Determine las reducciones cinemáticas de los movimientos en el instante en que la velocidad absoluta del punto $A$ del sólido "0" es $\vec{v}_{01}^A = v\vec{\imath}$ .
Si el sistema parte del reposo y el punto $A$ del sólido "0" realiza un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración $a 0$ , obtenga la expresión en función del tiempo del vector rotación $\vec{\omega}_{21}(t)$ y su derivada temporal $\vec{\alpha}_{21}(t)$ .
En las condiciones del apartado anterior, calcule la expresión de la aceleración $\vec{a}_{21}^D$ , así como la velocidad y aceleración relativa $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{20}^B$ .

1.6 Escuadra con barra vertical

En la figura se muestran los sólidos rígidos "0" y "2" que realizan sendos movimientos planos respecto del plano director fijo $\Pi_1\equiv O_1X_1Y_1$ (sólido "1"). El sólido "0" está formado por dos barras, $O A$ y $O B$ , ambas de longitud $a$ y rígidamente unidas formado un recto. El sólido "2" es una barra rígida $C D$ , también de longitud $a$ , cuyos extremos siempre están en contacto con las barras $O A$ y $O B$ , respectivamente.

A partir de la posición inicial en que el vértice $O$ del sólido "0" coincide con el punto fijo $O 1$ , y las barras $O A$ y $O B$ están alineadas con los ejes $O 1 X 1$ y $O 1 Y 1$ , respectivamente, el sólido "0" se mueve, respecto de $Π 1$ , rotando en sentido horario. En dicho movimiento, el módulo del correspondiente vector rotación tiene un valor constante en el tiempo $ω 0$ . Además, los puntos $O$ y $A$ de dicho sólido recorren, respectivamente, los ejes $O 1 Y 1$ y $O 1 Y 1$ . Simultáneamente, los extremos $C$ y $D$ del sólido "2" recorren las barras $O A$ y $O B$ ,respectivamente, de manera que $C D$ permanece en todo momento paralela al eje $O 1 Y 1$ .

Obtenga de manera razonada e indique la posición de los C.I.R. de los movimientos relativos {01}, {20} y {21} en el instante reflejado en la figura, en que el ́angulo $θ(t)$ tiene un valor $π / 6$ . Indique también las direcciones de las velocidades de los extremos $C$ y $D$ del sólido "2", medidas desde el sistema de referencia "1" (movimiento {21}).
Obtenga las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el instante mostrado en la figura.
También para la posición analizada en los apartados anteriores, determine la aceleración instantánea de los puntos del sólido "2" en el movimiento {21}.

2 Otros problemas

2.1 Biela-manivela

La figura muestra el mecanismo de biela-manivela. La manivela (sólido "0") gira alrededor del punto $O$ con velocidad angular uniforme $ω$ . La biela (sólido "2") gira alrededor de su punto de unión con la manivela (punto $A$ ). El otro extremo de la biela está unido (punto $B$ ) al deslizador (sólido "3") que realiza una traslación sobre el eje $X 1$

Utilizando el triángulo $O A B$ y la descomposición {31}={32}+{20}+{01}, verifica que el movimiento {31} es una traslación.

Determina gráficamente la posición de los C.I.R de todos los movimientos del problema.
Determina los vectores $\vec{v}^B_{21}(t)$ y $\vec{a}^B_{21}(t)$ .

2.2 Disco apoyado en una placa y una pared

El sistema mecánico de la figura está compuesto por los siguientes sólidos rígidos:

Sólido "1": plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ .
Sólido "3": placa cuadrada, de lado $L$ , que desliza sobre el eje $O 1 X 1$ , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él.
Sólido "2": disco, de centro en $C$ y radio $R$ que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O 1 Y 1$ en el punto de contacto $B$ , a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto $A$ .
Sólido "0": sistema de ejes $A X 0 Y 0$ , definido de tal modo que el eje $A Y 0$ contiene permanentemente al centro $C$ del disco, mientras que el eje $A X 0$ es tangente a dicho disco.

En el instante considerado en la figura

determina gráficamente la posición de los C.I.R. $I 21$ , $I 20$ , $I 03$ , $I 23$ , $I 01$ .
Utilizando como parámetro el ángulo $θ$ del dibujo (ángulo que forma el eje $A X 0$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a:

$\{21\} \equiv \{20\}+\{03\}+\{31\}$

calcula las reducciones cinemáticas en $C$ de los movimientos {20}, {03}, {31} y {21}:

2.3 Barra horizontal sobre un disco

El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro $O$ y radio $R$ , que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O 1 X 1$ del triedro fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante $v 0$ , manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto $A$ ) y sin deslizar sobre éste. Halla:

Las reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto $O$ ), es decir: ${\vec{\omega}_{21};\vec{v}_{21}^O}$ , ${\vec{\omega}_{01};\vec{v}_{01}^O}$ y ${\vec{\omega}_{20};\vec{v}_{20}^O}$ .
La aceleración relativa barra-disco del punto de contacto $A$ , es decir, $\vec{a}_{20}^A$ .

2.4 Partícula moviéndose radialmente sobre el radio de un disco

Una partícula $P$ recorre con velocidad constante $v 0$ el diámetro de un disco de radio $R$ (sólido "0"). A su vez, el disco, contenido en todo instante en el plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido "1") rueda sin deslizar sobre el eje $O X 1$ , de tal modo que su centro $C$ avanza con velocidad $\vec{v}_{01}^C=v_0\,\vec{\imath}_1$ .

Asociando al disco el triedro solidario $C X 0 Y 0$ (sólido "0"), y definiendo un triedro auxilar $P X 2 Y 2$ (sólido "2") cuyos ejes $P X 2$ y $P Y 2$ tienen las mismas direcciones que los ejes $C X 0$ y $C Y 0$ , respectivamente; determina, en función de los datos del problema ( $R$ y $v 0$ ) y de las coordenadas polares que se definen en la figura ( $ρ$ y $θ$ ):

La velocidad absoluta ( $\vec{v}_{21}^P$ ) y la aceleración absoluta ( $\vec{a}_{21}^P$ ) de la partícula $P$ .
La posición del C.I.R. del movimiento {21} (analíticamente).

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro "0" para resolver el ejercicio.

2.5 Disco articulado con una varilla

El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio $R$ ; y por una varilla $O A$ (sólido "2"), de longitud $2 R$ , articulada en su extremo $O$ al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación $y 1 = - R$ , mientras que el extremo $A$ de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje $O 1 Y 1$ . Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria $θ(t) = ω t$ (donde $ω$ es una constante conocida), se pide:

Los vectores de posición, $\overrightarrow{O_1A}=\vec{r}_{21}^A(t)$ ; velocidad, $\vec{v}_{21}^A(t)$ ; y aceleración $\vec{a}_{21}^A(t)$ , del movimiento absoluto del extremo $A$ de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?
Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.
Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

2.6 Movimientos planos de disco, barra y cuadrado

El sistema de la figura está formado por un disco de radio $R$ (sólido “0”), que rueda sin deslizar sobre el eje fijo $O X 1$ , desplazándose su centro $C$ con velocidad constante $v 0$ , respecto del sistema de referencia fijo $O X 1 Y 1$ . Una barra de longitud $8 R$ (sólido “2”), tiene un extremo articulado en $C$ y está obligada a pasar por el punto fijo $O$ . El otro extremo de la barra ( $A$ ) se encuentra siempre de una acanaladura practicada en el lado de un cuadrado (sólido “3”) que desliza sobre el eje $O X 1$ .

Describa las reducciones cinemáticas de los movimientos en función de los datos del enunciado y de la variable geométrica $θ$ .
Para una posición arbitraria del sistema, dada por el ángulo $θ$ , determine gráfica o analíticamente -y de manera razonada-, las posiciones de los C.I.R. de todos los movimientos relativos en el sistema.
Obtenga las posiciones en las que el cuadrado se detiene (respecto del sólido fijo) y calcule el valor de la aceleración absoluta del cuadrado ( $\mathbf{a}_{31}^A$ ) en dicha posición.
Calcule las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración absolutas del extremo $A$ de la barra cuando el sistema se halla en la posición dada por $θ = π / 2$ .

2.7 Disco con varilla articulada

Un disco de radio $R$ (sólido "0"), se mueve contenido siempre en el mismo plano vertical $O X Y$ . El centro $C$ del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad $v 0$ respecto del plano horizontal fijo (sólido "1"), sobre el que rueda sin deslizar. Un barra rígida de longitud $4 R$ (sólido "2"), contenida también en $O X Y Z$ , tiene su extremo $A$ articulado en un punto del perímetro del disco, mientras que su extremo $B$ se desliza sobre el plano horizontal.

Determina la posición de los C.I.R. en las cuatro posiciones indicadas en la figura.
Explica qué tipo de movimiento realiza la barra en cada uno de los instantes correspondientes a dichas posiciones.

2.8 Barra sobre dos discos que ruedan sin deslizar

Sendos discos de radios radios $2 R$ y $R$ (sólidos “0” y “2”, respectivamente) se encuentran siempre contenidos en el mismo plano y en contacto puntual sobre el sólido fijo “1”. Además, hay una barra rígida (sólido “3”), también contenida en el plano de los discos y en contacto puntual con éstos. El sistema se mueve de manera que los discos “0” y “2” ruedan sin deslizar de manera simultánea sobre los sólidos “1” y “3”.

Determine los C.I.R. de los diferentes movimientos relativos en el sistema descrito. ¿Cómo es el movimiento instantáneo de la barra “3” respecto del sólido fijo “1”?
Suponiendo que en el movimiento del disco de mayor radio respecto del sólido fijo la velocidad de su centro $C$ es un vector constante de valor conocido $\mathbf{v}_0$ , determine las reducciones cinemáticas de los movimientos ${01}$ , ${31}$ y ${21}$ .
Determine la ley horaria que sigue la distancia $\displaystyle\Delta x$ entre los puntos de contacto de los discos con el sólido fijo. Supóngase que en el instante inicial esta distancia es $3 R$ .
Determine la reducción cinemática del movimiento relativo del disco pequeño respecto del grande, ${20}$ . Calcule la aceleración instantánea del centro $D$ en dicho movimiento.

2.9 Disco que arrastra una varilla

En el sistema de la figura los tres sólidos realizan un movimiento plano cuando el disco de radio

R

(sólido “0”) rueda sin deslizar sobre el sólido “1”. El centro del disco,

C

, se desplaza con una velocidad $\mathbf{v}_C=v(t)\mathbf{i}_1$ . La barra de longitud

3 R

(sólido “2”) tiene su extremo

C

articulado en el centro del disco, mientras que se apoya en el borde

O

del sólido “1”.

Determine gráficamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}.
En el instante en que la distancia entre los puntos $O$ y $B$ es igual a $R$ , la velocidad del punto $C$ es $\mathbf{v}_C=v_0\ \mathbf{i}_1$ . Calcule las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el punto $C$ .
Exprese el vector de posición del punto $A$ en el sistema “1”, $\mathbf{r}_{21}^A$ , en función de un ángulo $β$ arbitrario.
Si $\dot{\beta}=-\Omega$ , con $Ω$ constante y positiva, calcule $\mathbf{v}_{21}^A(t)$ y $\mathbf{a}_{21}^A(t)$ para todo instante de tiempo, en función de $β$ , $Ω$ y $R$ .

2.10 Movimientos planos de manivela y disco

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo

O X 1 Y 1

(sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio

R

y centro

C

(sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal

O X 1

, y una manivela ranurada

O A

(sólido “0”) que es obligada a girar con velocidad angular constante

ω

alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto

O

y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje

O Z 1

). Los movimientos de ambos sólidos se hayan vinculados entre sí porque el centro

C

del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela. Considerando el movimiento

{20}

como el movimiento problema, se pide:

Determinar el C.I.R. de dicho movimiento ( $I 20$ ), haciendo uso de procedimientos graficos.
Utilizando como parámetro geométrico el ángulo $θ$ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento ${20}$ en el punto $C$ , $\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^C (\theta)\}$ .
Caracterizar el movimiento ${20}$ en el instante en que $θ = π / 2$ , indicando de forma razonada si se trata de una situación de: (a) rotación instantánea; (b) traslación instantánea; (c) movimiento helicoidal tangente, o (d) reposo instantáneo.

2.11 Disco rodando sobre una barra que rota

Una barra de longitud indefinida (sólido "0") se mueve siempre contenida en un plano fijo $\Pi_1\equiv OX_1Y_1$ (sólido "1"). En el punto fijo $O$ del plano $Π 1$ está articulado uno de los extremos de la barra, la cuál se mueve de manera que el ángulo que forma con el eje $O X 1$ varía linealmente con el tiempo, según la ley horaria $θ(t) = ω t$ . Un disco de radio $R$ (sólido "2"), también siempre contenido en el plano $O X 1 Y 1$ , rueda sin deslizar sobre la barra "0". Respecto de un sistema de referencia $O X 0 Y 0$ solidario con la barra "0", el centro $C$ del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme de velocidad $v 0$ . En el instante inicial $(t = 0)$ , el centro del disco se halla en el eje $O Y 1$ .

Obtenga los elementos de la reducción cinemática del movimiento {21} y su derivada temporal.
Considérese el caso en que los parámetros del sistema verifican la relación $v 0 = ω R$ . ¿Qué tipo de movimiento realiza el disco respecto del plano fijo? Determine gráficamente, y de manera razonada, las posiciones de los C.I.R. correspondientes a los movimientos {01}, {20} y {21}.
También en el caso de $v 0 = ω R$ , calcule las componentes intrínsecas de la aceleración y la velocidad del centro $C$ del disco en movimiento {21}, en función del tiempo. Obtenga la ley horaria $s (t)$ para la distancia recorrida por el centro $C$ del disco, desde el instante inicial, sobre la trayectoria que dicho punto describe en el plano $Π 1$ .

2.12 Base y ruleta de un disco que rueda sin deslizar

Determina la base y la ruleta de un disco de radio $R$ que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. El centro del disco se mueve con velocidad uniforme de módulo $v 0$ .

2.13 Movimiento plano de semidisco y barra sobre plano fijo

El semidisco de radio

R

y `“centro”

C

(sílido “2”), y la barra

O A

de longitud $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2}\!\ R$ (sólido “0”) que se muestran en la figura, se mueven contenidos en todo momento en el plano fijo $\Pi_1\equiv O_1X_1Y_1$ $ (sólido “1”). El extremo

A

de la barra se halla articulado en el extremo del diámetro

A C D

del semidisco, de manera que el punto del sólido “2” que ocupa la posición

A

se encuentra en reposo permanente respecto del sólido “0” (es decir, $\vec{v}_{20}^A=\vec{0}$ en todo instante). El extremo

O

de la barra “0” desliza sobre la superficie horizontal que se corresponde con el eje

O 1 X 1

. Por su parte, el semidisco

2

mantiene un contacto puntual con la superficie horizontal que constituye el sólido “1” y que coincide con el eje

O 1 X 1

, por lo que su “centro”

C

se mantiene siempre a una distancia

R

de dicho eje, desplazándose con velocidad siempre paralela al mismo. En el instante considerado, el diámetro

A C D

esta colocado paralelo al eje

O 1 X 1

; el punto

C

se desplaza con velocidad

v 0

en el sentido negativo del eje

O 1 X 1

, a la vez que rueda sin deslizar en el punto correspondiente a la posición de contacto

B

(es decir, $\vec{v}_{21}^B=\vec{0}$ ). Para dicho instante...

Indique las posiciones correspondientes a los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}. Justifique su respuesta.
Obtenga los vectores rotación instantánea $\vec{\omega}_{21}\mathrm{;}\;\vec{\omega}_{01}\mathrm{;}\,$ y $\, \vec{\omega}_{20}$ , y la velocidad con que desliza el extremo $O$ de la barra “0”.

Problemas de Movimiento plano (G.I.A.)

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