Aro con deslizador (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto $O$ , y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $O X 1$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $O X 2 Y 2$ (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:

Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
Sabiendo que el ángulo $θ$ , que forman los ejes $O X 1$ y $A X 2$ , verifica la ley horaria $θ(t) = ω t$ (donde $ω$ es una constante conocida), calcular $\vec{v}_{21}^A(t)$ y $\vec{a}_{21}^C(t)$ .

2 Solución

2.1 Determinación gráfica del CIR

Vayamos primero con la determinación gráfica. Tenemos la dirección de la velocidad en dos puntos, el $A$ y el $O$ . Dado que el punto $A$ sólo puede deslizar sobre el eje $O X 1$ , tenemos

$\vec{v}_{21}^A=v_{21}^A\,\vec{\imath}_1$

Por otro lado, la velocidad en $O$ debe ser tangente a la circunferencia del aro, pues éste sólo puede deslizar por el pasador. Como se indica en la figura adjunta, el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades en esos dos puntos nos da la posición de $I 21$ .

2.2 Cálculo de v^A₂₁ y v^C₂₁

Para calcular analíticamente la posición del CIR necesitamos la velocidad angular y la velocidad en un punto. Al ser un movimiento plano sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

$\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}$

siendo $\vec{k}$ el vector unitario perpendicular al plano. Vamos a calcular la posición de los puntos $A$ y $C$ en el sistema "1", de modo que derivando los vectores de posición obtengamos las velocidades. A partir de ellas, usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtendremos el valor de $ω 21$ .

De la figura obtenemos

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OA} = 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1\\ \\ \overrightarrow{OC} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 +R\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

Estos vectores están expresados en el triedro "1", y son válidos en todo instante. Podemos entonces derivarlos para obtener las velocidades

$\begin{array}{l} \vec{v}_{21}^A=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OA}}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1\\ \\ \vec{v}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OC}}{\mathrm{d}t}\right|_1=R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1-R\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array}$

Usando la ecuación del campo de velocidades relacionamos $\vec{v}_{21}^A$ y $\vec{v}_{21}^C$

$\vec{v}_{21}^C = \vec{v}_{21}^A+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}$

Dado que $\overrightarrow{AC}=-R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1+R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$ , haciendo el producto vectorial la ecuación vectorial se desdobla en dos ecuaciones escalares

$\left. \begin{array}{lcl} R\,\dot{\theta}\,\cos\theta&=&R\,\cos\theta\,(2\,\dot{\theta}-\omega_{21})\\ -R\,\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta&=&-R\,\omega_{21}\,\cos\theta \end{array} \right\} \Rightarrow \omega_{21}=\dot{\theta}$

Por tanto la reducción del movimiento {21} en el punto $C$ es

$\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^C = R\,\omega\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1-R\,\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1$

Podemos calcular $\vec{a}_{21}^C$ derivando directamente en la velocidad calculada

$\vec{a}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\right|_1=-R\,\omega^2[\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1+\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}_1]$

Nos falta la determinación analítica de $I 21$ . Dada $\vec{v}_{21}^A$ , tenemos

$\overrightarrow{AI_{21}}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^A}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2\,R\,\cos{\theta}\,\vec{\jmath}_1$

Podemos ver en la figura que este vector indica el mismo punto que la determinación gráfica.

2.3 Base y ruleta del movimiento {21}

2.3.1 Base

La base del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, $I 21$ , visto desde el sólido "1". Este lugar geométrico es la curva descrita por $I 21$ durante el movimiento del sólido "2". Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de $I 21$ visto desde el sólido "1", es decir, el vector $\vec{r}^{I_{21}}_{21}$ . Como el origen de la escuadra del sólido "1" es el punto $O$ , este vector es

$\vec{r}^{I_{21}}_{21} = \overrightarrow{OI}_{21} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}_{21}$

De la geometría observamos que

$\overrightarrow{OA} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1}$

El otro vector lo hemos calculado en el apartado anterior. Entonces, el vector de posición de $I 21$ visto desde el sólido "1" es

$\vec{r}^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1} + 2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

Esta curva está descrita en función del parámetro $θ$ . Durante el movimiento, este ángulo va variando en el tiempo. Para encontrar la expresión de la curva que describe hemos de eliminar el parámetro. Tenemos

$\vec{r}^{I_{21}}_{21} = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \\ y^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\cos\theta \\ \\ z^{I_{21}}_{21} = 0 \end{array} \right.$

Observando las expresiones de las componentes en $X 1$ e $Y 1$ vemos que

$\left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 = 4\,R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 4\,R^2\,\cos^2\theta = (2\,R)^2$

Las ecuaciones implícitas de la base son

$\left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 = (2\,R)^2 \qquad\qquad z^{I_{21}}_{21} = 0$

Esto es una circunferencia de radio $2 R$ y centro en el punto $O$ .

2.3.2 Ruleta

La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, $I 21$ , visto desde el sólido "2". Este lugar geométrico es la curva descrita por $I 21$ durante el movimiento del sólido "2", visto desde este sólido. Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de $I 21$ visto desde el sólido "2", es decir, el vector $\vec{r}^{I_{21}}_{22}$ . Como el origen de la escuadra del sólido "2" es el punto $A$ , este vector es

$\vec{r}^{I_{21}}_{22} = \overrightarrow{AI}_{21} = 2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1$

El problema aquí es que el vector $\vec{\jmath}_{1}$ no es constante visto desde el sólido "2". Hemos de expresar este vector en la base del sólido "2". Del dibujo vemos que

$\vec{\jmath}_{1} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_2$

El vector que buscamos es

$\vec{r}^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{\imath}_2 + 2\,R\cos^2\theta\,\vec{\jmath}_2 = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta \\ \\ y^{I_{21}}_{22} = 2\,R\cos^2\theta \\ \\ z^{I_{21}}_{22} = 0 \end{array} \right.$

Podemos utilizar las fórmulas del ángulo doble

$\begin{array}{l} \mathrm{sen}\,(2\alpha) = 2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos{\alpha} \\ \\ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \Longrightarrow \cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha) \end{array}$

Con esto tenemos

$\vec{r}^{I_{21}}_{22} = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{22} = R\,\mathrm{sen}\,(2\theta) \\ \\ y^{I_{21}}_{22} = R\, ( 1 + \cos(2\theta) ) \\ \\ z^{I_{21}}_{22} = 0 \end{array} \right.$

Podemos ver entonces que se cumple

$\left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2\,\mathrm{sen}^2(2\theta) + R^2\cos^2(2\theta) = R^2$

Por tanto, las ecuaciones implícitas de la ruleta son

$\left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2 \qquad \qquad z^{I_{21}}_{22} = 0$

Esto es una circunferencia de radio $R$ , con centro en el punto de coordenadas en la escuadra $A X 2 Y 2$ dadas por $(0, R) 2$ . Vemos que el centro resulta ser el punto $C$ . Por tanto la ruleta es la circunferencia del propio aro.

La figura muestra la base y la ruleta del movimiento {21}. En cada instante, el C.I.R. del movimiento está en el punto de tangencia de las dos curvas. El movimiento {21} puede visualizarse como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.

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2 Solución

2.1 Determinación gráfica del CIR

2.2 Cálculo de v^A₂₁ y v^C₂₁

2.3 Base y ruleta del movimiento {21}

2.3.1 Base

2.3.2 Ruleta

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2.2 Cálculo de v^A₂₁ y v^C₂₁