De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:34 25 nov 2014

Contenido

1 Problemas del boletín
2 Otros problemas
3 Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical

1 Problemas del boletín

1.1 Ecuación del campo de momentos

Encuentra la relación entre el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes en dos puntos distintos. ¿En qué situación el momento es el mismo en todos los puntos del espacio?

1.2 Sistema de vectores deslizantes equivalente a un vector deslizante

Una fuerza $\vec{F} = F\,\vec{\jmath}$ actúa sobre un sólido rígido aplicada en el punto $P (a,0,0)$ . Encuentra un sistema de vectores deslizantes formado por tres fuerzas que sea equivalente a la fuerza $\vec{F}$ y esté aplicado en el origen de referencia.

1.3 Sistema de vectores deslizantes equivalente a un sistema de vectores deslizantes

Se tiene un s.v.d. formado por tres vectores $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ y $\vec{F}_3$ , con puntos de aplicación $P 1$ , $P 2$ y $P 3$ .

$\begin{array}{lcl} \vec{F}_1 = 1.00\,\vec{\imath}\,\mathrm{(N)}&\qquad\qquad&P_1(2,1,1)\,\mathrm{(m)}\\ \vec{F}_2 = 2.00\,\vec{\jmath}\,\mathrm{(N)}&\qquad\qquad&P_2(1,2,0)\,\mathrm{(m)}\\ \vec{F}_3 = 3.00\,\vec{k}\,\mathrm{(N)}&\qquad\qquad&P_2(1,0,2)\,\mathrm{(m)} \end{array}$

Encuentra la resultante y el momento resultante en el origen. Construye un s.v.d. equivalente compuesto por sólo tres vectores y que esté aplicada en el origen.

1.4 Varilla con peso y muelle horizontal

La varilla $O A$ , homogénea, de peso $P$ y longitud $L$ , está obligada a permanecer en el plano vertical fijo $O X Y$ . Su extremo $O$ se halla articulado al origen del sistema de referencia, mientras que su extremo $A$ está conectado, mediante un resorte elástico ideal de constante recuperadora $K$ y longitud natural nula, a un deslizador puntual $B$ que puede moverse sin rozamiento a lo largo del eje $O Y$ . El resorte $A B$ se mantiene perpendicular al eje $O Y$ en todo instante.

Representa el "diagrama de sólido libre" de la varilla teniendo en cuenta el teorema de las tres fuerzas.
Determina el ángulo $θ$ que forma la varilla con el eje vertical $O Y$ en la posición de equilibrio (descartando las soluciones $θ = 0$ y $θ = π$ radianes)

1.5 Disco sostenido por una armadura

Un disco liso de radio $R$ y cuyo peso vale $P$ , está sostenido según se indica en la figura por la armadura $M$ de peso despreciable. El punto $A$ de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo $h = 3 R / 2$ la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por $A$ y por el centro del disco $O$ . Se pide:

Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

1.6 Disco apoyado en dos varillas en forma de V

En el esquema de la figura la barras $A B$ y $A C$ , ambas de longitud $a$ , están articuladas sin rozamiento en $A$ y con sus extremos $B$ y $C$ en un eje horizontal sobre el que pueden deslizar sin rozamiento. El peso de estas barras es despreciable en comparación con el peso $P$ de un disco homogéneo de radio $R$ que se apoya sin rozamiento sobre las barras, manteniéndose todo el sistema en un plano vertical (ver figura). Se pide:

Desvincular el sistema de sólidos y representar los correspondientes "diagramas de sólido libre".
Las reacciones vinculares en $B$ y $C$ para la posición de equilibrio.
La ecuación que determina la posición de equilibrio. ¿Que relación debe existir entre el radio del disco y la longitud de las barras para que el sistema esté en equilibrio en la posición correspondiente a $θ eq = π / 4$ ?

1.7 Varilla en dos puntos con contacto rugoso

La barra homogénea de la figura tiene peso $P$ y se halla en equilibrio, si bien en situación de "deslizamiento inminentei", como consecuencia de haber quedado encajada entre los soportes puntuales $A$ (contacto rugoso de coeficiente de rozamiento estático $μ$ ) y $B$ (contacto liso). Conocidos el ángulo $α$ de inclinación de la barra con respecto a la horizontal, así como la distancia $d$ que separa a los dos soportes puntuales, se pide:

Desvincular razonadamente la barra ("diagrama de sólido libre")
Determinar la distancia $(x A - x G$ ) entre el centro de gravedad $G$ de la barra y el soporte puntual $A$ .
Calcular las reacciones vinculares ejercidas sobre la barra por los soportes puntuales $A$ y $B$ .

1.8 Barra apoyada sobre un triángulo

Una barra de longitud $L$ se apoya en el suelo y en el vértice de un triángulo equilátero de lado $a$ . El ángulo que forma la barra con el suelo es $α$ . El peso de la barra es $P$ , y se aplica en su punto medio $G$ . El peso del triángulo es despreciable. El contacto con el suelo es rugoso para la barra y el triángulo, con un coeficiente de rozamiento $μ$ . El contacto entre la barra y el triángulo en el punto $B$ es liso.

Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra y el triángulo.
Calcula todas las fuerzas del apartado anterior en condiciones de equilibrio estático.
¿Que condición debe cumplir $α$ para que el triángulo no vuelque en ningun caso?
Analiza las condiciones que debe cumplir $μ$ para que se mantenga el equilibrio frente a deslizamiento.

1.9 Deformación de un cable de ascensor

Un ascensor puede llevar una carga máxima de 1000 kg (incluyendo su propia masa). Está suspendido de un cable de acero de 3.00 cm de diámetro y 300 m de longitud cuando está completamente desenrollado. La aceleración máxima del ascensor es $1.50\,\mathrm{m/s^2}$ . Si el aumento máximo de longitud del cable es de 3.00 cm ¿es seguro montarse en el ascensor? Dato: Módulo de Young del acero: $Y = 2.00\times10^{11}\,\mathrm{N/m^2}$ .

2 Otros problemas

2.1 Escalera apoyada en una pared

Una escalera de longitud $L$ se apoya en el suelo y una pared vertical de modo que el ángulo que forma con la horizontal es $α$ . El contacto con la pared es liso, mientras que con el suelo es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $μ$ . La masa de la escalera es $m$ , y su peso está aplicado en su centro.

En condiciones de equilibrio estático, ¿cuanto vale el módulo de la fuerza de rozamiento en el apoyo en el suelo?
¿Qué condición debe cumplir el ángulo para que la escalera no deslice?

2.2 Varilla apoyada sobre dos rampas

Una barra de longitud $L$ y masa $m$ se apoya sobre dos planos inclinados como se indica en la figura. Los apoyos en los planos son lisos. El peso de la barra se aplica en su centro. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra.

Calcula las fuerzas de reacción vincular en los apoyos (puntos $A$ y $B$ ).
Calcula el valor del ángulo $θ$ para el que la barra se encuentra en equilibrio.
Consideramos ahora una situación en la que el ángulo $θ$ vale $\theta = 30.0^{\circ}$ . En este caso el contacto en $A$ es rugoso mientras que en $B$ es liso. Calcula el valor del módulo de la fuerza de rozamiento en $A$ si la masa de la barra es $m=250\,\mathrm{g}$ .

2.3 Varilla apoyada sobre un cuadrado con contacto rugoso

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ y espesor y peso despreciables (sólido "0"). Ésta se halla contenida en un plano vertical $O X 1 Y 1$ , con uno de sus lados en contacto con el eje horizontal $O X 1$ (sólido "1"). Dicho contacto es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático $μ$ . Al mismo tiempo, sobre el vértice $A$ de la placa se apoya una varilla pesada y homogénea, de peso $P$ y longitud $2 a$ (sólido "2"), con un contacto liso. La varilla se mantiene siempre en el plano vertical $O X 1 Y 1$ , y puede girar libremente alrededor de su extremo articulado sin rozamiento en el punto $O$ del eje horizontal fijo. Se pide:

Fragmentar el sistema de sólidos y representar sus correspondientes "diagramas de sólido libre".
El rango de valores del parámetro $θ$ para el que es posible el equilibrio estático del sistema, y las reacciones vinculares ejercidas sobre la varilla en dicha situación.

2.4 Triángulo con muelle y rozamiento

Se tiene un triángulo equilátero homogéneo de peso $\vec{P}$ y lado $a$ . El peso está aplicado en el baricentro del triángulo, $G$ . El triángulo apoya uno de sus lados en una superficie rugosa, con coeficiente de rozamiento $μ$ . El vértice $A$ está unido a la pared con un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El muelle se mantiene siempre horizontal, como se indica en la figura

Dibuja el diagrama de sólido libre del triángulo.
Encuentra las fuerzas que actúan sobre el triángulo en situación de equilibrio mecánico.
¿Que condición debe cumplir $μ$ para que el equilibrio se rompa por deslizamiento y no por vuelco?

2.5 Barra apoyada sobre una pared inclinada

La barra de la figura forma un ángulo $α$ con la horizontal y está apoyada sobre una pared inclinada $π / 4$ . El peso de la barra está aplicado en su centro. El contacto en el punto $A$ es liso, mientras que en el punto $B$ es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $μ$ .

Dibuja el diagrama de sólido libre de la barra.
Considerando el ángulo $α$ como un dato, calcula las fuerzas sobre la barra en los puntos $A$ y $B$ .
¿Para que valores del ángulo $α$ es posible el equilibrio?

2.6 Esfera sobre un plano inclinado con una cuerda horizontal

Una esfera uniforme de masa $M$ y radio $R$ se mantiene en reposo sobre un plano inclinado un ángulo $θ$ mediante una cuerda horizontal, como se indica en la figura. El contacto entre la esfera y el plano es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $μ$ .

Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la esfera.
Calcula la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento y la reacción del plano sobre la esfera.
Analiza los valores del ángulo para los cuales es posible el equilibrio.

2.7 Disco apoyado en un escalón

El disco de radio $R$ y peso $P$ de la figura sufre una fuerza horizontal de módulo $F$ aplicada en su punto más alto. El contacto en el punto $A$ es liso, mientras que el contacto en el punto $B$ es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $μ$ .

Calcula las fuerzas sobre el disco en situación de equilibrio estático.
¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento para que pueda haber equilibrio estático?
En este último caso, ¿qué condición debe valer la fuerza $F$ para que el disco suba el escalón?

2.8 Barra apoyada en una parede sujeta por un cable

Una barra de longitud $L$ y masa $m$ está sujeta por un extremo a un cable que a su vez tienen su otro extremo anclado en la pared. El otro extremo de la barra se apoya en la pared, de modo que la barra se mantiene horizontal. El contacto en $A$ es rugoso. Determina las fuerzas que actúan sobre la barra en el punto en que se apoya en la pared. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que el equilibrio sea posible? ¿Cuánto vale la tensión del cable en ese caso? El peso de la barra se aplica en su centro de masas.

3 Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical

Un partícula de masa $m$ reposa sin rozamiento sobre un plano vertical definido por los puntos $A$ y $B$ de la figura. Está atada a dos muelles de constantes elásticas $k 1$ y $k 2$ y longitud natural nula, anclados en los puntos $O$ y $C$ , respectivamente. La partícula no puede deplazarse a lo largo del eje $O Z$ . El plano $A B$ puede desplazarse a lo largo del eje $O X$ de modo que se mantiene siempre vertical.

Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
¿Que condición debe cumplirse para que el punto de equilibrio de la masa esté sobre el eje $O X$
¿Qué condición debe cumplir $x P$ para que el plano $A B$ ejerza una fuerza sobre la partícula?
Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático $μ e$ . Si $y m$ es la coordenada de la partícula sobre el eje $O Y$ , calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.
En la situación con rozamiento, supongamos que $k 1 = k 2 = k$ , $m g = 2 k d$ , $d = l$ y $x P = l / 4$ . ¿Cuál es el rango de posiciones de equilibrio de la partícula sobre el plano?

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 [[Imagen:GIC_barra_cable_enunciado.png|right]]
 Una barra de longitud <math>L</math> y masa <math>m</math> está sujeta por un extremo a un cable que a su vez tienen su otro extremo anclado en la pared. El otro extremo de la barra se apoya en la pared, de modo que la barra se mantiene horizontal. El contacto en <math>A</math> es rugoso. Determina las fuerzas que actúan sobre la barra en el punto en que se apoya en la pared. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que el equilibrio sea posible? ¿Cuánto vale la tensión del cable en ese caso? El peso de la barra se aplica en su centro de masas.
+=[[Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical, Noviembre 2014 (G.I.C.)| Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical]]=
+[[Imagen:GIC_muelles_plano_vertical_enunciado_PPC_2014.png|right]]
+Un partícula de masa <math>m</math> reposa sin rozamiento sobre un plano vertical definido por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> de la figura. Está atada a dos muelles de constantes  elásticas <math>k_1</math> y <math>k_2</math> y longitud natural nula, anclados en los puntos <math>O</math> y <math>C</math>, respectivamente. La partícula no puede deplazarse a lo largo del eje <math>OZ</math>. El plano <math>AB</math> puede desplazarse a lo largo del eje <math>OX</math> de modo que se mantiene siempre vertical.
+#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
+#¿Que condición debe cumplirse para que el punto de equilibrio de la masa esté sobre el eje <math>OX</math>
+#¿Qué condición  debe cumplir <math>x_P</math> para que el plano <math>AB</math> ejerza una fuerza sobre la partícula?
+#Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu_e</math>. Si <math>y_m</math> es la coordenada de la partícula sobre el eje <math>OY</math>, calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.
+#En la situación con rozamiento, supongamos que <math>k_1=k_2=k</math>, <math>mg=2kd</math>, <math>d=l</math> y <math>x_P=l/4</math>.  ¿Cuál es el rango de posiciones de equilibrio de la partícula sobre el plano?
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Problemas de Estática del sólido rígido (G.I.C.)