Disco sostenido por una armadura

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Reacción sobre la armadura en el punto A
- 2.2 Reacciones en B, C y D

1 Enunciado

Un disco liso de radio $R$ y cuyo peso vale $P$ , está sostenido según se indica en la figura por la armadura $M$ de peso despreciable. El punto $A$ de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo $h = 3 R / 2$ la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por $A$ y por el centro del disco $O$ . Se pide:

Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

2 Solución

2.1 Reacción sobre la armadura en el punto $A$

Tenemos tres sólidos en el problema, la pared (sólido "1"), la armadura (sólido "0") y el disco sólido "2"). Para resolver el primer apartado vamos a considerar la armadura y el disco como un único sólido (sólido "2+0"). Las fuerzas externas que actúan sobre este sólido compuesto son el peso $P$ , y las f.r.v. que ejerce sobre él la pared en los puntos $A$ y $D$ .

El peso tiene dirección vertical. El vínculo en $D$ es liso, por lo que $\vec{\Phi}^D_{21}$ es normal a la pared. La dirección de la recta soporte de $\vec{\Phi}^A_{01}$ está determinada por el teorema de las tres fuerzas, que obliga a que las tres fuerzas sean concurrentes. La figura muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido "2+0".

Escogemos los ejes $X$ y $Y$ como se indica en la figura para expresar las fuerzas. Tenemos

$\left. \begin{array}{l} \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi}^D_{21} = N^D_{21}\,\vec{\imath} \\ \\ \vec{\Phi}^A_{01} = \Phi^A_{01x}\,\vec{\imath} + \Phi^A_{01y}\,\vec{\jmath} \end{array} \right.$

Tenemos tres incógnitas: $N^D_{21}$ , $\Phi^A_{01x}$ y $\Phi^A_{o1y}$ . Necesitamos tres ecuaciones. Podemos obtenerlas imponiendo las condiciones de equilibrio al sólido compuesto "0+2". En primer lugar la resultante de las fuerzas externas debe ser nula

$\vec{P}+\vec{\Phi}^D_{21}+\vec{\Phi}^A_{21}=\vec{0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} N^D_{21} + \Phi^A_{01x}=0\\ \\ \Phi^A_{01y} = P \end{array} \right.$

La otra condición dice que el momento resultante del sistema de fuerzas debe ser nulo respecto de cualquier punto. Calculamos el momento respecto del punto $D$

$\begin{array}{rl} \overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21} +& \overrightarrow{DO}\times\vec{P} + \overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01} = \vec{0} \\ &\overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21}=\vec{0}\\ &\overrightarrow{DO}\times\vec{P}= (-R\,\vec{\imath})\times(-P\,\vec{\jmath}) = R\,P\,\vec{k}\\ &\overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01}=\vec{0} \left(\dfrac{3}{2}R\,\vec{\jmath}\right)\times\left(\Phi^A_{01x}\vec{\imath}+\Phi^A_{01y}\vec{\jmath}\right)=-\dfrac{3}{2}R\Phi^A_{01x}\vec{k} \end{array}$

La ecuación resultante es

$P\,R - \dfrac{3}{2}R\,\Phi^A_{01x}=0\Longrightarrow \Phi^A_{01x} = \dfrac{2P}{3}$

Llevando esto a las ecuaciones anteriores obtenemos las f.r.v. en $A$ y en $D$

$\left. \begin{array}{l} \vec{\Phi}^A_{01} = \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} + P\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath} \end{array} \right.$

Podemos comprobar que los signos obtenidos concuerdan con los que se pueden intuir en el dibujo.

2.2 Reacciones en $B$ , $C$ y $D$

De las tres reacciones pedidas tenemos ya la f.r.v. en $D$ . Para obtener las otras consideramos ahora el disco como sólido problema y lo liberamos. Todos los contactos son lisos, por lo que todas las f.r.v. son normales a los contactos, como se indica en la figura. Usando los ejes indicados las fuerzas son

$\left. \begin{array}{l} \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}\\ \\ \vec{\Phi}^B_{20} = N^B_{20}\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{\Phi}^C_{20} = N^C_{20}\,\vec{\jmath} \end{array} \right.$

Tenemos sólo dos incógnitas. Aquí basta con aplicar la condición de resultante nula de las fuerzas actuando sobre el sólido "2" para resolver el problema. Tenemos

$\vec{\Phi}^B_{20} + \vec{\Phi}^C_{20} + \vec{\Phi}^D_{21} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Phi^C_{20} = P \\ \\ \Phi^B_{20} = \dfrac{2P}{3} \end{array} \right.$

Con lo que las fuerzas son

$\vec{\Phi}^B_{20}= \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} \qquad\qquad \vec{\Phi}^C_{20} = P\,\vec{\jmath}$

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