Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Electrostática en presencia de conductores

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Problema del potencial)
(Propiedades de los conductores en equilibrio)
 
(31 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
==Equilibrio electrostático==
==Equilibrio electrostático==
-
Artículo completo: [[Equilibrio electrostático]]
+
{{ac|Equilibrio electrostático}}
La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el ''equilibrio electrostático'', en el cual las cargas se encuentran en reposo.
La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el ''equilibrio electrostático'', en el cual las cargas se encuentran en reposo.
Línea 9: Línea 9:
==Propiedades de los conductores en equilibrio==
==Propiedades de los conductores en equilibrio==
-
Artículo completo: [[Consecuencias del equilibrio electrostático]]
+
{{ac|Consecuencias del equilibrio electrostático}}
Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático
Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático
 +
* El campo eléctrico es nulo en el material conductor
* El material conductor es equipotencial.
* El material conductor es equipotencial.
* No hay densidad de carga de volumen en el material.
* No hay densidad de carga de volumen en el material.
* Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
* Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
* No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
* No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
-
* El campo justo en el exterior de la superficie es de la forma
+
* El campo justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.
 +
* El campo justo fuera del conductor es de la forma
<center><math>\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}</math></center>
<center><math>\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}</math></center>
Línea 24: Línea 26:
{{ac|Problema del potencial}}
{{ac|Problema del potencial}}
-
Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es
+
Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la ecuación de Poisson
-
conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el
+
-
espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la
+
-
ecuación de Poisson
+
-
\[
+
-
\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\eps}
+
-
\]
+
-
en el espacio $\tau$ entre los conductores, con las condiciones de
+
-
contorno
+
-
\[
+
-
\phi = V_i \qquad \mbox{en $S_i$}
+
-
\]
+
-
siendo $S_i$ la superficie del conductor $i$. Para aquellos conductores
+
-
cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las
+
-
condiciones
+
-
\[
+
-
Q_i = \eps\oint_{S_i} \bE·d\bS_i = -\eps\oint_{S_i} \nabla\phi·d\bS_i
+
-
\]
+
-
siendo $S_i$ una superficie que envuelve al conductor $i$.
+
-
La solución del problema del potencial puede escribirse como una
+
<center><math>\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math></center>
-
superposición
+
 
-
\[
+
en el espacio <math>\tau</math> entre los conductores, con las condiciones de contorno
-
\phi = \phi_0 + \sum_j V_j\phi_j
+
 
-
\]
+
<center><math>\phi = V_i\,</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\in S_i)</math></center>
-
siendo $\phi_0$ el potencial que habría si la densidad de carga
+
 
 +
siendo <math>S_i</math> la superficie del conductor <math>i</math>. Para aquellos  conductores cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las condiciones
 +
 
 +
<center><math>Q_i = \varepsilon_0\oint_{S_i} \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i = -\varepsilon_0\oint_{S_i} \nabla\phi{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i</math></center>
 +
 
 +
siendo <math>S_i</math> una superficie que envuelve al conductor <math>i</math>.
 +
 
 +
La solución del problema del potencial puede escribirse como una superposición
 +
 
 +
<center><math>\phi = \phi_0 + \sum_k V_k\phi_k\,</math></center>
 +
 
 +
siendo <math>\phi_0</math> el potencial que habría si la densidad de carga
estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra
estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra
-
\[
+
 
-
\nabla^2\phi_0 = -\frac{\rho}{\eps} \quad \mbox{en $\tau$} \qquad
+
<center><math>\nabla^2\phi_0 = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\in\tau)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\phi_0=0</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\in S_i)</math></center>
-
\phi_0=0\quad \mbox{en $S_i$}
+
 
-
\]
+
y <math>\phi_k</math> es el potencial supuesto que el conductor <math>k</math> está a potencial unidad y el resto a tierra
-
y $\phi_j$ es el potencial supuesto que el conductor $j$ está a
+
 
-
potencial unidad y el resto a tierra
+
<center><math>\nabla^2\phi_k=0</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\in\tau)</math>{{qquad}}
-
\[
+
<math>\phi_k = 1\,</math>{{qquad}}<math>(\mathbf{r}\in S_k)</math>{{qquad}}<math>\phi_k=0\,</math>{{qquad}} <math>(\mathbf{r}\in S_i\quad i\neq k)</math></center>
-
\nabla^2\phi_j=0 \quad \mbox{en $\tau$} \qquad
+
-
\phi_j = 1 \quad \mbox{en $S_j$}\qquad \phi_j=0\quad \mbox{en
+
-
$S_i, \ i\neq j$}
+
-
\]
+
==Coeficientes de capacidad==
==Coeficientes de capacidad==
 +
{{ac|Coeficientes de capacidad}}
 +
 +
Si no hay densidad de carga volumétrica, las cargas almacenadas en los distintos conductores forman una combinación lineal de los potenciales respectivos
 +
 +
<center><math>Q_i = \sum_j C_{ik}V_k\,</math></center>
 +
 +
siendo los <math>C_{ik}</math> los ''coeficientes de capacidad''.
 +
 +
Estas relaciones pueden expresarse en forma matricial
 +
 +
<center><math>\mathbf{Q}=\mathbf{\mathsf{C}}{\cdot}\mathbf{V}</math></center>
 +
 +
siendo <math>\mathbf{Q}</math> y <math>\mathbf{V}</math> dos vectores columna y <math>\mathbf{\mathsf{C}}</math> una matriz cuadrada simétrica y definida positiva.
 +
 +
Los coeficientes de capacidad verifican
 +
 +
<center><math>C_{ii}> 0\,</math>{{qquad}}<math>C_{ik}\leq 0</math>{{qquad}}<math>(i\neq k)</math></center>
 +
 +
===Capacidad de un conductor===
 +
{{ac|Capacidad de un conductor}}
 +
 +
En el caso particular de un solo ''conductor'', la expresión se reduce a
 +
 +
<center><math>Q = C V\,</math></center>
 +
 +
con <math>C</math> la ''capacidad del conductor'', medida en faradios (F). Como
 +
caso particular, para una esfera de radio <math>R</math>
 +
 +
<center><math>C = 4\pi\varepsilon_0 R</math></center>
 +
==Condensadores y circuitos equivalentes==
==Condensadores y circuitos equivalentes==
 +
===Capacidad de un condensador===
 +
{{ac|Capacidad de un condensador}}
 +
 +
Dos superficies conductoras están en [[influencia total]] si todas las líneas de campo que parten de una van a parar a la otra, para valores arbitrarios de los potenciales. En este caso, las superficies forman un \emph{condensador}. La carga almacenada en cada una cumple
 +
 +
<center><math>Q_1 = C(V_1-V_2)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_2 = C(V_2-V_1)=-Q_1\,</math></center>
 +
 +
siendo <math>C</math> la ''capacidad del condensador''. Como casos particulares
 +
tenemos el condensador de placas planas y paralelas, el condensador cilíndrico coaxial de radios <math>a</math> y <math>b</math> y el condensador esférico de radios <math>a</math> y <math>b</math>, con capacidades respectivas
 +
 +
<center><math>C_\mathrm{plano} = \frac{\varepsilon_0 S}{a}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_\mathrm{cil}=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_\mathrm{esf}=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}</math></center>
 +
 +
Para otros sistemas deberá resolverse la ecuación de Laplace en el espacio entre las superficies, con las condiciones de que en una de ellas el potencial valga <math>V</math> y en la otra sea nulo, y calcular la carga en la placa a mayor tensión.
 +
 +
===Circuitos equivalentes===
 +
{{ac|Circuito equivalente a un sistema de conductores}}
 +
 +
Todo sistema de <math>N</math> conductores en equilibrio puede modelarse por un
 +
circuito equivalente de <math>N(N+1)/2</math> condensadores. Cada conductor es representado por un nodo del circuito. Entre cada dos nodos existe un condensador de capacidad
 +
 +
<center><math>\overline{C}_{ik}= -C_{ij}</math>{{qquad}}<math>(i\neq k)\,</math></center>
 +
 +
Este condensador estará ausente si los conductores <math>k</math> e <math>i</math> están apantallados por algún otro y no son conectados por ninguna línea de campo.
 +
 +
Además, para representar aquellas líneas de campo que pueden ir de cada conductor hasta el infinito, existen <math>N</math> condensadores adicionales,
 +
cada uno situado entre un nodo y tierra. La capacidad (''autocapacidad'') del condensador conectado al nodo <math>i</math> vale
 +
 +
<center><math>\overline{C}_{ii} = \sum_{j=1}^N C_{ik}</math></center>
 +
 +
Conocida la matriz de los coeficientes de capacidad pueden calcularse
 +
las <math>N(N-1)/2</math> capacidades y las <math>N</math> autocapacidades, y viceversa.
 +
 +
Además de estos condensadores, habrá que incluir una fuente de tensión continua conectada a cada nodo cuyo potencial esté fijado. Si la cantidad fijada es la carga del conductor, debe suponerse conectada a un &ldquo;generador de carga&rdquo;, que simplemente expresaría que la carga total almacenada en todos los condensadores conectados a dicho nodo es un valor dado y no nula. Si el elemento está aislado y descargado (<math>Q=0</math> y potencial desconocido) este elemento puede suprimirse.
 +
==Método de las imágenes==
==Método de las imágenes==
==Métodos numéricos==
==Métodos numéricos==
==Energía de un sistema de conductores==
==Energía de un sistema de conductores==
 +
{{ac|Energía de un sistema de conductores}}
 +
 +
Dado un sistema de <math>N</math> conductores, sin carga entre ellos, la energía almacenada en el sistema puede expresarse como
 +
 +
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i =\frac{1}{2}\sum_{ik}
 +
C_{ik}V_iV_k</math></center>
 +
 +
Si además de los conductores tenemos cargas de volumen o puntuales en el espacio entre ellos, habrá que añadir los correspondientes términos
 +
 +
<center><math>U_\mathrm{e} =\frac{1}{2}\sum_iQ_i V_i + \frac{1}{2}\int\!\!
 +
\rho\,\phi\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\sum_n q_n\phi'(\mathbf{r}_n)</math></center>
 +
 +
donde <math>\phi</math> es el potencial total en cada punto y <math>\phi'</math> es el potencial total exceptuando la contribución debida a la propia carga puntual.
 +
==Presión sobre la superficie de los conductores==
==Presión sobre la superficie de los conductores==
 +
{{ac|Presión electrostática}}
 +
 +
El cálculo de las fuerzas entre conductores puede realizarse a partir de la presión electrostática sobre ellos. Debido a la repulsión
 +
eléctrica, en cada punto de la superficie del conductor existe una presión dada por
 +
 +
<center><math>p=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{\sigma_s^2}{2\varepsilon}</math></center>
 +
 +
siendo la fuerza elemental sobre cada punto de la superficie
 +
 +
<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F} = p\,\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}S\,\mathbf{n}</math></center>
 +
 +
esto es, siempre normal y hacia afuera del conductor.
 +
==Fuerzas entre conductores==
==Fuerzas entre conductores==
==Problemas==
==Problemas==
-
Artículo completo: [[Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores]]
+
{{ac|Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores}}
-
 
+
<categorytree mode=pages depth="2">Problemas de electrostática en presencia de conductores</categorytree>
-
[[Categoría:Campo eléctrico en presencia de conductores]][[Categoría:Electrostática]][[Categoría:Campos Electromagnéticos]]
+
[[Categoría:Electrostática en presencia de conductores|0]]
 +
[[Categoría:Electrostática|20]]
 +
[[Categoría:Campos Electromagnéticos|30]]

última version al 11:06 8 mar 2011

Contenido

1 Equilibrio electrostático

Artículo completo: Equilibrio electrostático

La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual las cargas se encuentran en reposo.

La condición de reposo implica que la fuerza neta sobre cada carga es nula. Puesto que la fuerza sobre las cargas en reposo es una fuerza eléctrica, la condición de equilibrio implica que en el material conductor

\mathbf{E}=\mathbf{0}\,

2 Propiedades de los conductores en equilibrio

Artículo completo: Consecuencias del equilibrio electrostático

Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático

  • El campo eléctrico es nulo en el material conductor
  • El material conductor es equipotencial.
  • No hay densidad de carga de volumen en el material.
  • Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
  • No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
  • El campo justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.
  • El campo justo fuera del conductor es de la forma
\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}

3 Problema del potencial

Artículo completo: Problema del potencial

Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la ecuación de Poisson

\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

en el espacio τ entre los conductores, con las condiciones de contorno

\phi = V_i\,    (\mathbf{r}\in S_i)

siendo Si la superficie del conductor i. Para aquellos conductores cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las condiciones

Q_i = \varepsilon_0\oint_{S_i} \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i = -\varepsilon_0\oint_{S_i} \nabla\phi{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i

siendo Si una superficie que envuelve al conductor i.

La solución del problema del potencial puede escribirse como una superposición

\phi = \phi_0 + \sum_k V_k\phi_k\,

siendo φ0 el potencial que habría si la densidad de carga estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra

\nabla^2\phi_0 = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}    (\mathbf{r}\in\tau)        φ0 = 0    (\mathbf{r}\in S_i)

y φk es el potencial supuesto que el conductor k está a potencial unidad y el resto a tierra

\nabla^2\phi_k=0    (\mathbf{r}\in\tau)     \phi_k = 1\,    (\mathbf{r}\in S_k)    \phi_k=0\,     (\mathbf{r}\in S_i\quad i\neq k)

4 Coeficientes de capacidad

Artículo completo: Coeficientes de capacidad

Si no hay densidad de carga volumétrica, las cargas almacenadas en los distintos conductores forman una combinación lineal de los potenciales respectivos

Q_i = \sum_j C_{ik}V_k\,

siendo los Cik los coeficientes de capacidad.

Estas relaciones pueden expresarse en forma matricial

\mathbf{Q}=\mathbf{\mathsf{C}}{\cdot}\mathbf{V}

siendo \mathbf{Q} y \mathbf{V} dos vectores columna y \mathbf{\mathsf{C}} una matriz cuadrada simétrica y definida positiva.

Los coeficientes de capacidad verifican

C_{ii}> 0\,    C_{ik}\leq 0    (i\neq k)

4.1 Capacidad de un conductor

Artículo completo: Capacidad de un conductor

En el caso particular de un solo conductor, la expresión se reduce a

Q = C V\,

con C la capacidad del conductor, medida en faradios (F). Como caso particular, para una esfera de radio R

C = 4\pi\varepsilon_0 R

5 Condensadores y circuitos equivalentes

5.1 Capacidad de un condensador

Artículo completo: Capacidad de un condensador

Dos superficies conductoras están en influencia total si todas las líneas de campo que parten de una van a parar a la otra, para valores arbitrarios de los potenciales. En este caso, las superficies forman un \emph{condensador}. La carga almacenada en cada una cumple

Q_1 = C(V_1-V_2)\,        Q_2 = C(V_2-V_1)=-Q_1\,

siendo C la capacidad del condensador. Como casos particulares tenemos el condensador de placas planas y paralelas, el condensador cilíndrico coaxial de radios a y b y el condensador esférico de radios a y b, con capacidades respectivas

C_\mathrm{plano} = \frac{\varepsilon_0 S}{a}        C_\mathrm{cil}=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}        C_\mathrm{esf}=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}

Para otros sistemas deberá resolverse la ecuación de Laplace en el espacio entre las superficies, con las condiciones de que en una de ellas el potencial valga V y en la otra sea nulo, y calcular la carga en la placa a mayor tensión.

5.2 Circuitos equivalentes

Artículo completo: Circuito equivalente a un sistema de conductores

Todo sistema de N conductores en equilibrio puede modelarse por un circuito equivalente de N(N + 1) / 2 condensadores. Cada conductor es representado por un nodo del circuito. Entre cada dos nodos existe un condensador de capacidad

\overline{C}_{ik}= -C_{ij}    (i\neq k)\,

Este condensador estará ausente si los conductores k e i están apantallados por algún otro y no son conectados por ninguna línea de campo.

Además, para representar aquellas líneas de campo que pueden ir de cada conductor hasta el infinito, existen N condensadores adicionales, cada uno situado entre un nodo y tierra. La capacidad (autocapacidad) del condensador conectado al nodo i vale

\overline{C}_{ii} = \sum_{j=1}^N C_{ik}

Conocida la matriz de los coeficientes de capacidad pueden calcularse las N(N − 1) / 2 capacidades y las N autocapacidades, y viceversa.

Además de estos condensadores, habrá que incluir una fuente de tensión continua conectada a cada nodo cuyo potencial esté fijado. Si la cantidad fijada es la carga del conductor, debe suponerse conectada a un “generador de carga”, que simplemente expresaría que la carga total almacenada en todos los condensadores conectados a dicho nodo es un valor dado y no nula. Si el elemento está aislado y descargado (Q = 0 y potencial desconocido) este elemento puede suprimirse.

6 Método de las imágenes

7 Métodos numéricos

8 Energía de un sistema de conductores

Artículo completo: Energía de un sistema de conductores

Dado un sistema de N conductores, sin carga entre ellos, la energía almacenada en el sistema puede expresarse como

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i =\frac{1}{2}\sum_{ik}
C_{ik}V_iV_k

Si además de los conductores tenemos cargas de volumen o puntuales en el espacio entre ellos, habrá que añadir los correspondientes términos

U_\mathrm{e} =\frac{1}{2}\sum_iQ_i V_i + \frac{1}{2}\int\!\!
\rho\,\phi\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\sum_n q_n\phi'(\mathbf{r}_n)

donde φ es el potencial total en cada punto y φ' es el potencial total exceptuando la contribución debida a la propia carga puntual.

9 Presión sobre la superficie de los conductores

Artículo completo: Presión electrostática

El cálculo de las fuerzas entre conductores puede realizarse a partir de la presión electrostática sobre ellos. Debido a la repulsión eléctrica, en cada punto de la superficie del conductor existe una presión dada por

p=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{\sigma_s^2}{2\varepsilon}

siendo la fuerza elemental sobre cada punto de la superficie

\mathrm{d}\mathbf{F} = p\,\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}S\,\mathbf{n}

esto es, siempre normal y hacia afuera del conductor.

10 Fuerzas entre conductores

11 Problemas

Artículo completo: Problemas de campo eléctrico en presencia de conductores

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 11:06, 8 mar 2011. - Esta página ha sido visitada 46.022 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace