Cubo entre cuatro placas conductoras

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Carga almacenada en las placas
3 Energía electrostática
4 Campo eléctrico
5 Presión y fuerza

1 Enunciado

Cuatro placas cuadradas de lado $L=2\,\mathrm{cm}$ , conductoras, se encuentran en la disposición cuadrada indicada en la figura.

Entre las cuatro placas, centrado, se encuentra un cubo conductor, de arista $L=2\,\mathrm{cm}$ , situado a una distancia $a=1\,\mathrm{mm}$ de cada placa. El cubo está descargado en todo momento.

Si las cuatro placas se conectan a sendos generadores que fijan tensiones $V_1=-10\,\mathrm{V}$ , $V_2=20\,\mathrm{V}$ , $V_3= 30\,\mathrm{V}$ , $V_4=40\,\mathrm{V}$

Halle la carga almacenada en cada una de las placas cuadradas.
Calcule la energía electrostática del sistema.
Calcule el valor del campo en cada uno de los condensadores que se forman.
Halle la presión electrostática en cada cara del cubo enfrentada a una placa, así como la fuerza electrostática total sobre el cubo.

Despréciense los efectos de borde y los debidos a las caras del cubo no enfrentadas a una placa.

2 Carga almacenada en las placas

La forma más sencilla de abordar este problema es con ayuda de un circuito equivalente.

Tenemos cinco conductores, equivalentes a cinco nodos del circuito: las cuatro placas (que etiquetaremos de “1” a “4”) y el cubo central (que será el conductor “5”).

En principio, el circuito equivalente se compone de 10 condensadores, uno entre cada dos nodos, más 5 con el infinito.

Sin embargo, se nos dice que despreciemos los efectos de borde. Esto equivale a admitir que sólo hay campo eléctrico en los espacios entre las placas planas y el cubo. Por tanto, el sistema se reduce a solo cuatro condensadores: los que forman cada placa con el cubo. La capacidad de todos estos condensadores es la misma:

$\overline{C}_{15}=\overline{C}_{25}=\overline{C}_{35}=\overline{C}_{45}=C=\frac{\varepsilon_0 L^2}{a}= 3.54\,\mathrm{pF}$

La presencia del cubo apantalla unas placas respecto de las otras

$\overline{C}_{12}=\overline{C}_{13}=\overline{C}_{14}=\overline{C}_{23}= \overline{C}_{24}=\overline{C}_{34}=0$

y la aproximación de que se desprecien los efectos de borde hace que no haya que considerar los condensadores que cada placa forma con el infinito.

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{44}=0$

Además, como se nos dice en el enunciado la misma aproximación nos permite despreciar el efecto de las caras del cubo no enfrentadas a placas, por lo que

$\overline{C}_{55} = 0$

Por tanto el circuito equivalente tiene cinco nodos y cuatro condensadores. A esto hay que añadirle las cuatro fuentes de tensión conectadas a sendas placas.

El cubo central posee carga constante $Q = 0$ por lo que habría que conectar a su nodo una fuente de carga. Sin embargo, al tratarse de carga nula podemos prescindir de ella.

A partir de este circuito podemos obtener la carga en cada placa como

$Q_1 = C\left(V_1-V_5\right)$ $Q_2 = C\left(V_2-V_5\right)$ $Q_3 = C\left(V_3-V_5\right)$ $Q_4 = C\left(V_4-V_5\right)$ $0 = Q_5 = C\left(V_5-V_1\right)+C\left(V_5-V_2\right)+C\left(V_5-V_3\right)+C\left(V_5-V_4\right)$

Eliminando paréntesis obtenemos la matriz de coeficientes de capacidad

$\mathbf{\mathsf{C}} = C\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 & 4\end{matrix}\right)$

Vemos que, como debe ser, los términos de la diagonal principal son estrictamente positivos, mientras que los no diagonales son negativos nulos.

De la condición de que el cubo está descargado obtenemos el valor de su potencial

$0 = C\left(4V_5-V_1-V_2-V_3-V_4\right)$ $\Rightarrow$ $V_5 = \frac{V_1+V_2+V_3+V_4}{4} = 20\,\mathrm{V}$

Una vez que tenemos el potencial del cubo, que resulta ser la media aritmética de los de las cuatro placas, el cálculo de la carga de cada placa es inmediato

$Q_1 = C(V_1-V_5) = -106.0\,\mathrm{pC}$ $Q_2 = C(V_1-V_5) = 0\,\mathrm{pC}$ $Q_3 = C(V_3-V_5) = 35.3\,\mathrm{pC}$ $Q_4 = C(V_4-V_5) = 70.7\,\mathrm{pC}$

Obsérvese que la suma de las cuatro cargas es 0, ya que hay tanta carga en las placas como en el cubo, cambiada de signo. Puesto que el cubo está descargado, la suma de las cargas de las placas es también nula.

3 Energía electrostática

Conocidas la carga y el potencial de cada conductor, el cálculo de la energía es inmediato:

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left(Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3+Q_4V_4+Q_5V_5\right) = 2.48\,\mathrm{nJ}$

Esta misma cantidad puede calcularse a partir de la energía almacenada en un conjunto de condensadores

$U_\mathrm{e}= \frac{1}{2}C(V_1-V_5)^2+\frac{1}{2}C(V_2-V_5)^2+\frac{1}{2}C(V_3-V_5)^2+\frac{1}{2}C(V_4-V_5)^2$

4 Campo eléctrico

El cálculo del campo eléctrico entre dos placas planas y paralelas, cuando se desprecian los efectos de borde, es inmediato:

Si llamamos (temporalmente) $z$ a la coordenada que va de una placa a la otra y $x$ e $y$ a las transversales, de forma que una placa se encuentra en $z = 0$ y otra en $z = a$ , la ecuación para el potencial es la de Laplace

$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} = 0$

Al despreciar los efectos de borde suponemos que el campo eléctrico va exclusivamente en la dirección $z$

$\mathbf{E} = E\mathbf{u}_{z} = -\frac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{u}_{x} - \frac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{u}_{z} - \frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{u}_{z}$

por lo que el potencial no depende ni de $x$ ni de $y$ y la ecuación de Laplace se reduce a

$\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}z^2} = 0$ $\Rightarrow$ $\phi = A z + B\,$

Imponiendo las condiciones de contorno

$\phi(z=0) = V_0\,$ $\phi(z=a) = V_a\,$

nos da la solución general

$\phi = V_0 + \frac{V_a-V_0}{a}z$

A partir de aquí resulta un campo uniforme en el espacio entre las placas

$\mathbf{E} = -\nabla\phi = \frac{V_0-V_a}{a}\mathbf{u}_{z}$

Esto en un sistema de ejes orientado con el eje $Z$ perpendicular a las placas.

En nuestro sistema, debemos tener cuidado con que las placas están orientadas de formas diferentes.

Llamaremos $X$ al eje definido por las placas 2 y 4 e $Y$ al definido por 1 y 3, con el origen de coordenadas en el centro del cubo.

Con estas convenciones, el campo en cada condensador es

$\mathbf{E}_1 = \frac{V_1-V_5}{a}\mathbf{u}_{y} = -30\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_{y}$

$\mathbf{E}_2 = -\frac{V_2-V_5}{a}\mathbf{u}_{y} = \mathbf{0}$ $\mathbf{E}_3 = -\frac{V_3-V_5}{a}\mathbf{u}_{y} = -10\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_{y}$

$\mathbf{E}_4 = \frac{V_4-V_5}{a}\mathbf{u}_{x} = 20\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_{x}$

5 Presión y fuerza

Para hallar la presión sobre cada cara del cubo simplemente aplicamos la expresión

$p_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$

que nos da para las cuatro caras enfrentadas a las placas

$p_1 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{V_1-V_5}{a}\right)^2 = 3.98\,\mathrm{mPa}$

$p_2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{V_2-V_5}{a}\right)^2 = 0\,\mathrm{mPa}$ $p_3 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{V_3-V_5}{a}\right)^2 = 0.44\,\mathrm{mPa}$

$p_4 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{V_4-V_5}{a}\right)^2 = 1.44\,\mathrm{mPa}$

dado que las presiones son diferentes de una cara a otra, aparece una fuerza neta igual a

$\mathbf{F} = \oint p_\mathrm{e}\,\mathrm{d}\mathbf{S}$

Teniendo en cuenta que la presión es uniforme sobre cada cara y siempre produce una fuerza hacia afuera del conductor, esta integral se convierte en una suma de cuatro términos

$\mathbf{F} = -p_1 L^2\mathbf{u}_{y} + p_2L^2\mathbf{u}_{x}+p_3 L^2\mathbf{u}_{y}-p_4L^2\mathbf{u}_{x} =(-0.71\,\mathbf{u}_{x}-1.42\,\mathbf{u}_{y})\,\mu\mathrm{N}$

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3 Energía electrostática

4 Campo eléctrico

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