Electrostática en presencia de conductores

De Laplace

Contenido

1 Equilibrio electrostático
2 Propiedades de los conductores en equilibrio
3 Problema del potencial
4 Coeficientes de capacidad
- 4.1 Capacidad de un conductor
5 Condensadores y circuitos equivalentes
- 5.1 Capacidad de un condensador
- 5.2 Circuitos equivalentes
6 Método de las imágenes
7 Métodos numéricos
8 Energía de un sistema de conductores
9 Presión sobre la superficie de los conductores
10 Fuerzas entre conductores
11 Problemas

1 Equilibrio electrostático

Artículo completo: Equilibrio electrostático

La propiedad definitoria de un material conductor es que permite el movimiento de las cargas en su interior. Cuando un conductor se ve sometido a un campo eléctrico, las cargas se redistribuyen hasta que se alcanza el equilibrio electrostático, en el cual las cargas se encuentran en reposo.

La condición de reposo implica que la fuerza neta sobre cada carga es nula. Puesto que la fuerza sobre las cargas en reposo es una fuerza eléctrica, la condición de equilibrio implica que en el material conductor

$\mathbf{E}=\mathbf{0}\,$

2 Propiedades de los conductores en equilibrio

Artículo completo: Consecuencias del equilibrio electrostático

Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático

El campo eléctrico es nulo en el material conductor
El material conductor es equipotencial.
No hay densidad de carga de volumen en el material.
Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
El campo justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.
El campo justo fuera del conductor es de la forma

$\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}$

3 Problema del potencial

Artículo completo: Problema del potencial

Si tenemos un conjunto de conductores cuya carga o cuyo potencial es conocido, además de una cierta distribución de carga volumétrica en el espacio entre ellos, el problema del potencial consiste en resolver la ecuación de Poisson

$\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

en el espacio $τ$ entre los conductores, con las condiciones de contorno

$\phi = V_i\,$ $(\mathbf{r}\in S_i)$

siendo $S i$ la superficie del conductor $i$ . Para aquellos conductores cuyo potencial no se conozca, sus valores pueden obtenerse de las condiciones

$Q_i = \varepsilon_0\oint_{S_i} \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i = -\varepsilon_0\oint_{S_i} \nabla\phi{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_i$

siendo $S i$ una superficie que envuelve al conductor $i$ .

La solución del problema del potencial puede escribirse como una superposición

$\phi = \phi_0 + \sum_k V_k\phi_k\,$

siendo $φ 0$ el potencial que habría si la densidad de carga estuviera presente pero los conductores estuvieran a tierra

$\nabla^2\phi_0 = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ $(\mathbf{r}\in\tau)$

φ 0 = 0

$(\mathbf{r}\in S_i)$

y $φ k$ es el potencial supuesto que el conductor $k$ está a potencial unidad y el resto a tierra

$\nabla^2\phi_k=0$ $(\mathbf{r}\in\tau)$ $\phi_k = 1\,$ $(\mathbf{r}\in S_k)$ $\phi_k=0\,$ $(\mathbf{r}\in S_i\quad i\neq k)$

4 Coeficientes de capacidad

Artículo completo: Coeficientes de capacidad

Si no hay densidad de carga volumétrica, las cargas almacenadas en los distintos conductores forman una combinación lineal de los potenciales respectivos

$Q_i = \sum_j C_{ik}V_k\,$

siendo los $C i k$ los coeficientes de capacidad.

Estas relaciones pueden expresarse en forma matricial

$\mathbf{Q}=\mathbf{\mathsf{C}}{\cdot}\mathbf{V}$

siendo $\mathbf{Q}$ y $\mathbf{V}$ dos vectores columna y $\mathbf{\mathsf{C}}$ una matriz cuadrada simétrica y definida positiva.

Los coeficientes de capacidad verifican

$C_{ii}> 0\,$ $C_{ik}\leq 0$ $(i\neq k)$

4.1 Capacidad de un conductor

Artículo completo: Capacidad de un conductor

En el caso particular de un solo conductor, la expresión se reduce a

$Q = C V\,$

con $C$ la capacidad del conductor, medida en faradios (F). Como caso particular, para una esfera de radio $R$

$C = 4\pi\varepsilon_0 R$

5 Condensadores y circuitos equivalentes

5.1 Capacidad de un condensador

Artículo completo: Capacidad de un condensador

Dos superficies conductoras están en influencia total si todas las líneas de campo que parten de una van a parar a la otra, para valores arbitrarios de los potenciales. En este caso, las superficies forman un \emph{condensador}. La carga almacenada en cada una cumple

$Q_1 = C(V_1-V_2)\,$ $Q_2 = C(V_2-V_1)=-Q_1\,$

siendo $C$ la capacidad del condensador. Como casos particulares tenemos el condensador de placas planas y paralelas, el condensador cilíndrico coaxial de radios $a$ y $b$ y el condensador esférico de radios $a$ y $b$ , con capacidades respectivas

$C_\mathrm{plano} = \frac{\varepsilon_0 S}{a}$ $C_\mathrm{cil}=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$ $C_\mathrm{esf}=\frac{4\pi\varepsilon_0 a b}{b-a}$

Para otros sistemas deberá resolverse la ecuación de Laplace en el espacio entre las superficies, con las condiciones de que en una de ellas el potencial valga $V$ y en la otra sea nulo, y calcular la carga en la placa a mayor tensión.

5.2 Circuitos equivalentes

Artículo completo: Circuito equivalente a un sistema de conductores

Todo sistema de $N$ conductores en equilibrio puede modelarse por un circuito equivalente de $N (N + 1) / 2$ condensadores. Cada conductor es representado por un nodo del circuito. Entre cada dos nodos existe un condensador de capacidad

$\overline{C}_{ik}= -C_{ij}$ $(i\neq k)\,$

Este condensador estará ausente si los conductores $k$ e $i$ están apantallados por algún otro y no son conectados por ninguna línea de campo.

Además, para representar aquellas líneas de campo que pueden ir de cada conductor hasta el infinito, existen $N$ condensadores adicionales, cada uno situado entre un nodo y tierra. La capacidad (autocapacidad) del condensador conectado al nodo $i$ vale

$\overline{C}_{ii} = \sum_{j=1}^N C_{ik}$

Conocida la matriz de los coeficientes de capacidad pueden calcularse las $N (N - 1) / 2$ capacidades y las $N$ autocapacidades, y viceversa.

Además de estos condensadores, habrá que incluir una fuente de tensión continua conectada a cada nodo cuyo potencial esté fijado. Si la cantidad fijada es la carga del conductor, debe suponerse conectada a un “generador de carga”, que simplemente expresaría que la carga total almacenada en todos los condensadores conectados a dicho nodo es un valor dado y no nula. Si el elemento está aislado y descargado ( $Q = 0$ y potencial desconocido) este elemento puede suprimirse.

6 Método de las imágenes

7 Métodos numéricos

8 Energía de un sistema de conductores

Artículo completo: Energía de un sistema de conductores

Dado un sistema de $N$ conductores, sin carga entre ellos, la energía almacenada en el sistema puede expresarse como

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i =\frac{1}{2}\sum_{ik} C_{ik}V_iV_k$

Si además de los conductores tenemos cargas de volumen o puntuales en el espacio entre ellos, habrá que añadir los correspondientes términos

$U_\mathrm{e} =\frac{1}{2}\sum_iQ_i V_i + \frac{1}{2}\int\!\! \rho\,\phi\,\mathrm{d}\tau + \frac{1}{2}\sum_n q_n\phi'(\mathbf{r}_n)$

donde $φ$ es el potencial total en cada punto y $φ'$ es el potencial total exceptuando la contribución debida a la propia carga puntual.

9 Presión sobre la superficie de los conductores

Artículo completo: Presión electrostática

El cálculo de las fuerzas entre conductores puede realizarse a partir de la presión electrostática sobre ellos. Debido a la repulsión eléctrica, en cada punto de la superficie del conductor existe una presión dada por