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Esfera con hueco relleno de carga

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una esfera conductora de radio R tiene un hueco, también esférico, de radio R / 2, no siendo el hueco concéntrico con la esfera (sea a la distancia entre centros). Inicialmente la esfera se encuentra aislada y descargada.
  1. Obtenga las expresiones del campo eléctrico y del potencial en todos los puntos del espacio cuando en el hueco se introduce una carga Q0 distribuida uniformemente en el volumen del hueco.
  2. Manteniendo esta carga en el hueco, la superficie de la esfera conductora se conecta a una fuente de potencial de valor V0. ¿Cuánto valen el campo y el potencial en todo el espacio una vez que se alcanza el equilibrio electrostático?
  3. ¿Cuánta carga aporta el generador en el paso anterior?

2 Conductor descargado

Tenemos tres regiones: el hueco, el material conductor, y el exterior de la esfera conductora. El campo y el potencial en cada una son:

2.1 Exterior del conductor

Desde fuera del conductor solo vemos una esfera, de radio R en equilibrio electrostático. El problema del potencial, en esta región exterior es

\nabla^2\phi = 0 \qquad (r>R)

con las condiciones de contorno

\phi = V\quad(r=R)        \phi\to 0\quad (r\to\infty)

siendo V el potencial de la esfera, cuyo valor desconocemos por ahora y que calcularemos más tarde.

La solución de este problema es conocida:

\phi = \frac{VR}{r}        \mathbf{E}=-\nabla\phi=\frac{VR}{r^2}\mathbf{u}_r\qquad(r>R)
El valor de V lo obtenemos a partir de la carga. Si consideramos el flujo de \mathbf{E} a través una superficie esférica que envuelva a la esfera conductora, la ley de Gauss nos da la carga encerrada
Q_\mathrm{int}=\varepsilon_0\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi\varepsilon_0R V

Por otro lado, la carga encerrada es solo la del hueco, pues el conductor está descargado. Por ello

V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}

y el potencial y el campo en el exterior son

\phi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}        \mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r\qquad (r>R)

Esto se corresponde con el que en un conductor a carga fijada, con un hueco, un observador exterior es capaz de apreciar la magnitud de la carga, pero no su distribución en el interior o siquiera la existencia del hueco. Solo ve una distribución de carga uniforme en la superficie exterior del conductor.

2.2 Material conductor

Por estar en equilibrio electrostático, el material conductor es equipotencial y el valor del potencial es el que acabamos de calcular

\phi = V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}        \mathbf{E}=-\nabla\phi=\mathbf{0}\qquad(\mathbf{r}\in\tau)

siendo τ el volumen del material conductor

2.3 Hueco del conductor

Puesto que el hueco no está centrado en la esfera metálica, llamemos r1 a la coordenada radial medida desde el centro del hueco.

En este caso el problema del potencial no verifica la ecuación de Laplace, sino la de Poisson

\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\qquad \left(r'<\frac{R}{2}\right)        \rho=\frac{Q}{4\pi (R/2)^3/3}=\frac{6Q}{\pi R^3}

con la condición de contorno de que la pared del hueco es parte del conductor

\phi = V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\qquad\left(r_1=\frac{R}{2}\right)

Por la simetría de este problema, podemos suponer que el potencial en el hueco depende sólo de la distancia a su centro y que por tanto su campo es central en el hueco

\phi=\phi(r_1)\,   \Rightarrow   \mathbf{E}=E(r_1)\mathbf{u}_{r_1}
Esto nos permite emplear la ley de Gauss para hallar el campo en el hueco, como en el caso de una esfera cargada uniformemente. El resultado es
\mathbf{E}=\frac{\rho r_1}{3\varepsilon_0}\mathbf{u}_{r_1}=\frac{2Q r_1\mathbf{u}_{r_1}}{\pi\varepsilon_0 R^3}\qquad\left(r_1< \frac{R}{2}\right)

El potencial lo obtenemos integrando desde un punto de la superficie del hueco hasta un punto del interior (y teniendo en cuenta que en la superficie del hueco el potencial vale V).

\phi(r_1) - V = -\int_{R/2}^{r_1} \frac{2Q r_1\,\mathrm{d}r_1}{\pi\varepsilon_0 R^3} = -\frac{Q (r_1^2-(R/2)^2)}{\pi\varepsilon_0 R^3}

Despejando

\phi(r_1) = V + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} - \frac{Qr_1^2}{\pi\varepsilon_0R^3} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R}-\frac{Qr_1^2}{\pi\varepsilon_0R^3}\qquad \left(r_1< \frac{R}{2}\right)

3 Conductor a tensión V0

Si el conductor en lugar de tener la carga constante tiene su tensión fijada por una fuente, el problema se hace incluso más sencillo ya que el material funciona como una jaula de Faraday y desacopla los dos problemas.

En cualquier caso, podemos aprovechar casi integramente la solución del apartado anterior, ya que lo único que cambia es que ahora V no vale Q/4\pi\varepsilon_0R sino que vale V0. Con esta modificación, la solución queda

3.1 Exterior del conductor

El potencial y el campo valen

\phi = \frac{V_0R}{r}        \mathbf{E}=-\nabla\phi=\frac{V_0R}{r^2}\mathbf{u}_r\qquad(r>R)

3.2 Material conductor

El potencial es ahora el fijado por la fuente

\phi = V_0\,        \mathbf{E}=-\nabla\phi=\mathbf{0}\qquad(\mathbf{r}\in\tau)

3.3 Interior del hueco

En el hueco lo único que cambia es el potencial en la pared. Esto tiene el efecto de modificar en una constante el potencial. El campo no cambia.

\phi(r_1) = V_0 + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} - \frac{Qr_1^2}{\pi\varepsilon_0R^3}        \mathbf{E}=\frac{2Q r_1\mathbf{u}_{r_1}}{\pi\varepsilon_0 R^3}\qquad\left(r_1< \frac{R}{2}\right)

4 Carga suministrada

La carga suministrada por la fuente en el transitorio, la da la diferencia entre la carga percibida desde el exterior antes y después de la conexión. Antes de la conexión se ve solamente la carga contenida en el hueco. Después de ella, se ve la suma de esa carga más la del conductor, que es la que queremos calcular. Por tanto

\Delta Q = 4\pi\varepsilon_0 R V_0 - Q

ya que 4\pi\varepsilon_0 R V_0 es la carga que se mide desde el exterior.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Esfera_con_hueco_relleno_de_carga"

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