Campo debido a una esfera cargada uniformemente

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Campo eléctrico
3 Fuerza sobre un dipolo

1 Enunciado

Una esfera de radio

R

almacena una carga

Q

distribuida uniformemente en su volumen.

Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.
Halle la fuerza que experimenta un dipolo $\mathbf{p}$ situado en el interior de esta nube de carga.

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss.

Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central

$\phi=\phi(r)\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r$

Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la esfera de carga obtenemos

$\Phi_\mathrm{e}\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint \left(E(r)\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\,\mathbf{u}_r\right)=\oint E(r)\,\mathrm{d}S$

Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera ( $r = cte$ ) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral

$\Phi_e = \oint E(r)\,\mathrm{d}S= E(r)\oint \mathrm{d}S =4\pi r^2 E$

Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica.

Este resultado es general para cualquier sistema con simetría esférica, sea una carga puntual, una superficie cargada o una distribución radial no uniforme.

De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío

$\oint \mathrm{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0}$

Dependiendo de si el radio de la superficie de integración es mayor o menor que el de la esfera de carga, tenemos dos casos:

En el exterior de la nube de carga ( $r > R$ ): En este caso, la superficie de integración contiene a toda la carga del sistema

$Q_\mathrm{int}=Q\,$ $\Rightarrow$ $4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf{u}_r\quad(r>R)$

El campo en el exterior de la esfera es igual al de una carga puntual que concentrara toda la carga del sistema y estuviera situada en el centro de ésta.

En el interior de la nube ( $r < R$ ): En este caso la superficie de integración no contiene a toda la carga del sistema, sino solo a la porción que quepa dentro de ella. Puesto que la densidad de carga es uniforme, esta carga encerrada es igual a la densidad de carga multiplicada por el volumen de esta esfera:

$Q_\mathrm{int}(r) = \frac{4\pi}{3}r^3\rho_0$

A su vez, la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen total

$\rho_0 = \frac{Q}{4\pi R^3/3}$ $\Rightarrow$ $Q_\mathrm{int}(r)=\frac{Qr^3}{R^3}$

lo que nos da el campo eléctrico

$4\pi r^2 E = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}=\frac{Qr\mathbf{u}_r}{4\pi\varepsilon_0R^3}$

Atendiendo a la dependencia radial, vemos que el campo en el interior aumenta radialmente desde cero en el centro de la esfera hasta un valor máximo en su superficie.

Reuniendo los dos resultados obtenemos, que para una nube esférica de carga con una carga Q distribuida uniformemente el campo es (usando que $r\mathbf{u}_r=\mathbf{r}$ )

$\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases} = \begin{cases}\displaystyle\frac{\rho_0\mathbf{r}}{3\varepsilon_0} & r < R \\ & \\ \displaystyle\frac{\rho_0R^3\mathbf{r}}{3\varepsilon_0 r^3} & r > R\end{cases}$

Este campo es continuo en $r = R$ ya que sobre la esfera no hay una densidad superficial de carga.

3 Fuerza sobre un dipolo

la fuerza sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico tiene la expresión

$\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$

En el caso de que el dipolo se encuentre en el interior de la nube de carga, aplicamos esta fórmula a la expresión del campo interior

$\mathbf{F}=(\mathbf{p}\cdot\nabla)\left(\frac{Q\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right) = \frac{Q(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$

Tal como se demuestra en un problema de [Algunas_identidades_vectoriales#Primera_identidad_.28.29|fundamentos matemáticos], para cualquier vector $\mathbf{p}$ y el vector de posición $\mathbf{r}$ se cumple

$(\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{p}$

por lo que la fuerza sobre el dipolo es

$\mathbf{F}=\frac{Q\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$

Vemos que resulta una fuerza independiente de la posición del dipolo (siempre que se encuentre en el interior de la nube) y proporcional al momento dipolar. Si la carga de la nube es positiva, la fuerza es el mismo sentido que el momento dipolar; si es negativa, en sentido opuesto.

El caso particular en el que el dipolo apunta radialmente es fácil de entender. Supongamos que

Q > 0

y que el dipolo apunta radialmente hacia afuera. Entonces la carga positiva del dipolo se encuentra a una mayor distancia del centro de la nube que la carga negativa del dipolo. Puesto que el campo aumenta linealmente con la distancia al centro, esto quiere decir que la fuerza de repulsión sobre la carga positiva es más intensa que la de atracción sobre la negativa. La resultante de las fuerzas sobre el dipolo es entonces de repulsión y apuntará hacia afuera, como el momento dipolar.

Análogamente, pero con los signos invertidos, si el dipolo apunta hacia adentro, o la carga de la nube es negativa.

Más difícil de ver es el caso en el que el dipolo apunta perpendicularmente a la dirección radial. En este caso las dos cargas que forman el dipolo se encuentran a la misma distancia del centro de la nube, por lo que el módulo de la fuerza que actúa sobre ellas es el mismo para las dos. Sin embargo, se encuentran sobre direcciones radiales diferentes, por lo que la dirección de la fuerza sobre cada una es diferente. Cuando se tiene esto en cuenta y se halla la resultante, resulta una fuerza también perpendicular a la dirección radial, como el momento dipolar.

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