Dos conductores enfrentados

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Primer caso
- 3.1 Por las líneas de campo
- 3.2 Mediante el circuito equivalente
4 Segundo caso
- 4.1 Por las líneas de campo
- 4.2 Mediante el circuito equivalente
5 Tercer caso
- 5.1 Por las líneas de campo
- 5.2 Por el circuito equivalente
6 Cuarto caso

1 Enunciado

Se colocan enfrentados dos conductores metálicos de forma arbitraria. No hay más conductores ni cargas en el sistema. Halle el signo de las dos cargas y los dos potenciales (indicando si alguno es nulo) en las configuraciones siguientes:

El conductor “1” está conectado a una fuente de tensión $V 0 > 0$ y el “2” está aislado y descargado.
El conductor “1” a una tensión $V 0 > 0$ y el “2” puesto a tierra.
El conductor “1” almacena una carga $Q 0 > 0$ y el “2” está aislado y descargado.
El conductor “1” almacena una carga $Q 0 > 0$ y el “2” está a tierra.

2 Introducción

Estos cuatro casos obedecen al mismo esquema: tenemos dos conductores de forma arbitraria en equilibrio electrostático. Por estar en equilibrio, estos conductores estarán a un cierto potencial y almacenará cierta carga. Se trata de, haciendo razonamientos generales, establecer el signo de alguna de las magnitudes, conocido el de otras.

Estas cantidades se relacionan por la ecuación matricial

$\begin{array}{lcr} Q_1 & = & C_{11}V_1+C_{12}V_2 \\ Q_2 & = & C_{12}V_1+C_{22}V_2\end{array}$

En todos los casos existen dos (o más) procedimientos alternativos:

Analizar la dirección de las líneas de campo

Las líneas de campo van de mayor a menor potencial, por tanto, si una línea va de un conductor 1 a un conductor 2, el potencial $V 1$ será mayor que $V 2$ .
Si de un conductor una línea de campo va hacia al infinito, el potencial del conductor será positivo; si viene de él, será negativo.
Las líneas de campo electrostático no pueden formar bucles cerrados. No puede haber una línea que salga de un conductor y vuelva a él. Si una línea va del conductor 1 al 2, no puede haber otra que vaya del 2 al 1, ni directa ni indirectamente (pasando por el infinito).
Si en la superficie de un conductor todas las líneas de campo van hacia afuera, su carga es positiva; si van hacia adentro, es negativa.
Si el conductor posee carga nula habrá líneas que entren y líneas que salgan.

Estudiar el circuito equivalente: Para un sistema de dos conductores podemos construir un circuito equivalente formado por dos nodos, tres condensadores y una o dos fuentes (de tensión o de carga). Las capacidades de los condensadores de este circuito son todas positivas (o nulas). Las relaciones entre cargas y potenciales, en términos de las capacidades y autocapacidades son

$\begin{array}{lcr} Q_1 & = & \overline{C}_{11}V_1+\overline{C}_{12}(V_1-V_2) \\ Q_2 & = & \overline{C}_{12}(V_1-V_2)+\overline{C}_{22}V_2\end{array}$

Esto permite determinar los signos de cargas y potenciales.

Veámoslo para los cuatro casos indicados.

3 Primer caso

3.1 Por las líneas de campo

El conductor 1 tiene un potencial mayor que el del infinito (que es tierra), por lo que habrá líneas de campo que salen del 1 y van al infinito. Nos preguntamos entonces si habrá líneas que vayan del 2 al 1, o del 1 al 2 (no pueden darse las dos cosas a la vez).

El conductor 2 está aislado y descargado, por lo que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie que lo envuelva es nulo; esto quiere decir que por cada línea de campo que salga de 2 debe haber otra que entre. Si hay una línea de 2 que va a 1, debe haber otra que venga del infinito y entre en 2. Pero esto es imposible, porque tendríamos líneas cerradas en el ciclo $1\to\infty\to 2\to 1$ .

Por tanto, las líneas deben ir de 1 a 2 y no al revés.

Entonces, tenemos que todas las líneas que tocan 1 van hacia afuera, el flujo del campo a través de una superficie que envuelve al conductor 1 es positivo y

$Q_1=\varepsilon_0\oint_{S_1}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_1> 0$

Por otro lado, como hay líneas que van de 1 a 2, debe haberlas de 1 al infinito. Por tanto

$V_2 > 0\,$

3.2 Mediante el circuito equivalente

Este se compone de 2 nodos, tres condensadores y una fuente de tensión. Como el conductor 2 está aislado y descargado, no tenemos que conectar nada al nodo 2.

Entonces el circuito equivalente se reduce a la asociación en paralelo de dos condensadores, uno de los cuales es la asociación en serie de otros 2. La capacidad equivalente del sistema será

$C_\mathrm{eq}=C_a+C_b\qquad\qquad C_a = \overline{C}_{11} \qquad \frac{1}{C_b}=\frac{1}{\overline{C}_{12}}+\frac{1}{\overline{C}_{22}}$

y es positiva. Por tanto la carga del conductor 1 es

Q 1 = C eq V 0 > 0

mientras que la tensión del nodo 2, intermedio entre el 1 y tierra debe ser necesariamente positiva

$V_2 = \frac{Q}{\overline{C}_{22}}=\frac{C_\mathrm{eq}}{\overline{C}_{22}}V_0 > 0$

4 Segundo caso

4.1 Por las líneas de campo

De nuevo, el conductor 1 tiene un potencial mayor que el del infinito (que es tierra), por lo que habrá líneas de campo que salen del 1 y van al infinito. Puesto que el conductor 2 está a tierra, $V 1 > V 2$ y habrá líneas que vayan del conductor 1 al 2.

Puesto que el potencial del conductor 2 es el mismo que el del infinito, no habrá líneas del conductor 2 de o hacia el infinito.

Entonces, tenemos que todas las líneas que tocan 1 van hacia afuera, el flujo del campo a través de una superficie que envuelve al conductor 1 es positivo y

$Q_1=\varepsilon_0\oint_{S_1}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_1> 0$

Por otro lado, todas las líneas que tocan 2 van hacia adentro, el flujo del campo a través de una superficie que envuelve al conductor 2 es negativo y

$Q_2=\varepsilon_0\oint_{S_2}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_ < 0$

4.2 Mediante el circuito equivalente

En este caso, además de como en el caso anterior, que teníamos 2 nodos, tres condensadores y una fuente de tensión a voltaje $V 0$ , se añade una conexión a tierra en el nodo 2.

Esta conexión a tierra cortocircuita el condensador $\overline{C}_{22}$ , con lo cual es como si éste no estuviera presente. Así, el circuito equivalente se reduce a la asociación en paralelo de dos condensadores. La capacidad equivalente del sistema será

$C_\mathrm{eq}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12}$

y es positiva. Por tanto la carga del conductor 1 es

Q 1 = C eq V 0 > 0

mientras que la carga del nodo 2 será la correspondiente a la placa negativa del condensador $\overline{C}_{12}$

$Q_2 = \overline{C}_{12}(0-V_0)=-\overline{C}_{12}V_0 < 0$

Podemos además comparar este caso con el anterior. Antes la tensión del nodo 2 era positiva, ahora es nula. Por tanto, hemos aumentado la diferencia de potencial entre las placas del condensador $\overline{C}_{12}$ . Esto implica que la carga del conductor 1 es ahora superior a la del primer caso.

5 Tercer caso

El tercer caso es muy parecido al primero.

5.1 Por las líneas de campo

Si el conductor 1 almacena una carga positiva, lo que quiere decir que habrá más líneas de campo que salgan de él que líneas que entren. En el conductor 2, en cambio, que está aislado y descargado, habrá tantas líneas de campo que entren como líneas que salgan de él.

Supongamos que hay alguna que entre en el conductor 1. ¿De donde puede venir esta línea? Si viene del conductor 2, entonces no podría haber ninguna línea del 1 al 2 (se cerraría un bucle), así que todas las del 1 deberían ir al infinito. Pero esta línea que va del 2 al 1 debe ser compensada con otra que vaya del infinito al 2. Pero así se cierra un bucle $1\to\infty\to 2\to 1$ . Por tanto no puede haber líneas del 2 al 1.

Similarmente se demuestra que no puede haber ninguna línea del infinito al conductor 1.

Por tanto, del conductor 1 sólo pueden salir líneas de campo. No pueden entra en él. Estas líneas o bien van al infinito directamente, o bien tocan en el 2 y de allí van al infinito. En cualquiera de los dos casos la conclusión es que el potencial del conductor 1 es positivo.

$V_1 > 0\,$

Para el conductor 2, puesto que no puede haber líneas que vayan de él al conductor 1, o bien no entra ni sale ninguna, o bien hay alguna que llega a él desde el conductor 1 y de allí al infinito. En ese caso, el potencial del 2 es también positivo o nulo

$V_2\geq 0$

5.2 Por el circuito equivalente

De nuevo es más fácil emplear el circuito equivalente. Como en el primer caso, este se compone de una asociación en paralelo del condensador $\overline{C}_{11}$ con la asociación en serie del $\overline{C}_{11}$ y el $\overline{C}_{11}$ ., siendo la capacidad equivalente

$C_\mathrm{eq}=C_a+C_b\qquad\qquad C_a = \overline{C}_{11} \qquad \frac{1}{C_b}=\frac{1}{\overline{C}_{12}}+\frac{1}{\overline{C}_{22}}$

A diferencia del primer caso, ahora suponemos una fuente de carga conectada al nodo 1 para indicar que este conductor almacena una carga $Q 0$ . La tensión de este nodo será

$V_1 = \frac{Q_0}{C_\mathrm{eq}} > 0$

y la del nodo 2

$V_2 = \frac{Q'}{\overline{C}_{22}}$

siendo Q' la carga almacenada en cada uno de los condensadores de la asociación en serie. Esta carga vale

$Q' = C_b V_1 = \frac{C_b}{C_{eq}}Q_0$

lo que nos da

$V_2 = \frac{C_b}{C_{eq}\overline{C}_{22}}Q_0 > 0$

6 Cuarto caso

Dos conductores enfrentados

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Introducción

3 Primer caso

3.1 Por las líneas de campo

3.2 Mediante el circuito equivalente

4 Segundo caso

4.1 Por las líneas de campo

4.2 Mediante el circuito equivalente

5 Tercer caso

5.1 Por las líneas de campo

5.2 Por el circuito equivalente

6 Cuarto caso

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