Esfera conductora con dos huecos esféricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Coeficientes de capacidad
3 Cargas y voltajes
4 Cálculo empleando el circuito equivalente
5 Energía almacenada

1 Enunciado

En una esfera metálica de radio $R$ se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio $R / 2$ . Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio $R / 4$ . No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra aun potencial $V 0$ y la otra se encuentra a tierra. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energía almacenada en el sistema.

2 Coeficientes de capacidad

El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.

La forma más sencilla de determinar la relación $Q$ — $V$ es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos “2”), la esfera a potencial $V 0$ (“1”) y la que está a tierra (“3”).

En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador $\overline{C}_{ik}$ , más los que conectan a cada uno con el infinito, $\overline{C}_{ii}$ . Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{13}=0$

A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior $R / 4$ y exterior $R / 2$ . Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico $C=4\pi\varepsilon_0 a b/(b-a)$ , resulta

$\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0(R/2)(R/4)}{R/2-R/4}=2\pi\varepsilon_0 R$

Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente $C 21$ debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.

En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi=0$

con las condiciones de contorno

$\phi=1\qquad \left(r_1=\frac{R}{4}\right)$ $\phi=0\qquad \left(r_1=\frac{R}{2}\right)$

siendo $r 1$ la distancia medida desde el centro de la esfera interior.

Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la solución de la ecuación de Laplace es

$\phi = M + \frac{N}{r_1}$

Imponiendo las condiciones de contorno

$1=M+ \frac{N}{R/4}$ $0 = M + \frac{N}{R/2}$

queda el potencial

$\phi=\frac{R}{2r_1}-1$

La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente $C 11$ la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.

$C_{11} = \varepsilon_0 \oint_{S_1}\mathbf{E}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_1 = \varepsilon_0\oint\left(\frac{R}{2r_1^2}\mathbf{u}_{r_1}\right){\cdot}\left(r_1^2\,\mathrm{d}\Omega\mathbf{u}_{r_1}\right)= 2\pi\varepsilon_0 R$

siendo $dΩ$ el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente $C_{11}=2\pi\varepsilon_0 R$ . Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, $C_{12}=-C_{11}=-2\pi\varepsilon_0 R$ . La capacidad equivalente entre los dos nodos será $\overline{C}_{12}=-C_{12}=2\pi\varepsilon_0 R$ .

Por último queda por determinar la capacidad $\overline{C}_{22}$ . Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo $b\to\infty$ ) vale

$\overline{C}_{22}=4\pi\varepsilon_0 R$

Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general

$Q_1=2\pi\varepsilon_0 R(V_1-V_2)$ $Q_2=4\pi\varepsilon_0 RV_2+2\pi\varepsilon_0 R((V_2-V_1)+(V_2-V_3))=2\pi\varepsilon_0 R(-V_1+4V_2-V_3)$ $Q_3=2\pi\varepsilon_0 R(V_3-V_2)$

En forma matricial

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix} = 2\pi\varepsilon_0R\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}$

3 Cargas y voltajes

En nuestro problema, los datos son

$V_1=V_0\,$ $Q_2=0\,$ $V_3=0\,$

$0=2\pi\varepsilon_0 R(4V_2-V_0)$ $\Rightarrow$ $V_2=\frac{V_0}{4}$ $Q_1=2\pi\varepsilon_0 R\left(V_0-\frac{V_0}{4}\right)=\frac{3\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0$ $Q_3=2\pi\varepsilon_0 R\left(0-\frac{V_0}{4}\right)=-\frac{\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0$

y ya están determinadas todas las incógnitas del problema.

4 Cálculo empleando el circuito equivalente

Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores $\overline{C}_{22}$ y $\overline{C}_{23}$ conectados al conductor 2 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad

$C=2\pi\varepsilon_0 R+4\pi\varepsilon_0 R=6\pi\varepsilon_0 R$

Este condensador se encuentra en serie con el $\overline{C}_{12}$ . La asociación tiene una capacidad

$C_\mathrm{eq}=\frac{\overline{C}_{12}C}{C+\overline{C}_{12}}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0 R$

Como la asociación está sometida a una tensión $V 0$ , la carga en la placa positiva (el conductor 1) vale

$Q_1=C_\mathrm{eq}V_0=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0$

A partir de aquí podemos calcular la tensión en el conductor 2, restando la caída de tensión en el condensador $\overline{C}_{12}$

$V_2=V_0-\frac{Q_1}{\overline{C}_{12}}=V_0-\frac{3}{4}V_0=\frac{V_0}{4}$

La carga del conductor 3 la calculamos aplicando que equivale a la de la placa negativa del condensador $\overline{C}_{23}$ , sometido a una tensión $V 0 / 4$

$Q_3=-\overline{C}_{23}\frac{V_0}{4}=-\frac{\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0$

resultando los valores ya conocidos.

5 Energía almacenada

Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se calcula como

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{Q_2}{V_2}+\frac{1}{2}Q_3V_3= \frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{4}V_0^2$

Obsérvese que los conductores 2 y 3 no contribuyen por anularse su carga o su potencial.

Esta energía puede también calcularse a partir de la suma de energías almacenadas en diferentes condensadores

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{22}V_2^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2+ \frac{1}{2}\overline{C}_{23}(V_2-V_3)^2=$

$\frac{4\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}\right)^2+\frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-V_0\right)^2+ \frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-0\right)^2=$

$\frac{1}{8}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{9}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2$

Esfera conductora con dos huecos esféricos

De Laplace

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1 Enunciado

2 Coeficientes de capacidad

3 Cargas y voltajes

4 Cálculo empleando el circuito equivalente

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