Problemas de dinámica del sólido rígido (GIE)

De Laplace

1 Momento de inercia de un sistema de partículas

Se tiene un sólido formado por ocho partículas de masa m situadas en los vértices de un cubo de arista a. Halle el momento de inercia del cubo respecto a los siguientes ejes:

1. Uno perpendicular a una cara y que pase por el centro del cubo.
2. Uno que pase por dos vértices opuestos.
3. Uno que pase por los centros de dos aristas opuestas.
4. Uno que pase por una arista

2 Propiedades de un sistema de 8 partículas

Para los movimientos compatibles del problema “Clasificación de movimientos de un sólido” calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.

3 Sólido formado por tres partículas

Un sólido está formado por tres partículas, una de masa 200 g situada en y dos de 100 g que se encuentran en y , respectivamente. Las velocidades de las masas valen cada una y .

1. ¿Cuál es la posición del centro de masas del sistema?
2. ¿Cuánto vale el momento de inercia de este sólido respecto a un eje que pasa por (cm) y tiene la dirección del vector ?
3. Si en este sólido se aplica sobre la masa de 200 g una fuerza y sobre las masas de 100 g una fuerza . ¿Cuánto vale la aceleración del centro de masas del sólido?

4 Momento de inercia de sólidos cilíndricos

Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea:

1. Una superficie cilíndrica hueca, de masa M, radio R y altura H.
2. Un cilindro macizo, de masa M, radio R y altura H.
3. Una corona cilíndrica de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂, con altura H

En todos los casos, el momento de inercia debe hallarse respecto al eje del cilindro.

5 Momento de inercia de sólidos esféricos

Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa M y radio R alrededor de de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂ respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio R?

6 Momento de inercia de un sólido en L

Se tiene un sólido en forma de L de un metal homogéneo, siendo h la longitud de los brazos y M su masa total. Calcule el momento de inercia del sólido respecto a un eje perpendicular al plano de la L y que pasa por un punto del interior del cuadrado de lado h que define. ¿En qué punto es mínimo este momento de inercia?

7 Equilibrio de una barra apoyada

Supongamos que tenemos una barra de masa M y longitud H apoyada en el suelo y en una pared vertical.

1. Suponga primero que no hay rozamiento con las superficies y que la barra forma un ángulo θ con la vertical. ¿Puede quedarse en equilibrio la barra para algún valor de θ?
2. Suponga ahora que la barra posee un coeficiente de rozamiento estático μ con el suelo. ¿Para qué ángulos puede alcanzarse entonces el equilibrio?

8 Dos partículas unidas por una barra

Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial v₀ perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?

9 Fuerza sobre una barra

Sobre una barra de longitud H y masa M situada en reposo horizontalmente en una superficie sin rozamiento se aplica una fuerza F₀ también horizontal. El punto de la aplicación se encuentra a una distancia b del centro de la barra.

1. Si la fuerza es perpendicular a la barra, ¿cuánto valen la aceleración del CM y la aceleración angular de la barra? ¿Alrededor de qué punto comienza a girar la barra?
2. Suponga ahora que la fuerza forma un ángulo θ con la barra, ¿cuánto valen ese caso las aceleraciones y donde se encuentra el centro instantáneo de rotación?
3. Suponga que la barra se encuentra articulada en un extremo de forma que sólo puede girar en torno a este punto. ¿Cuánto valen las aceleraciones en ese caso? ¿Cuánto vale la fuerza que el punto de articulación ejerce sobre la barra?
4. Si la barra estuviera empotrada en su extremo, de forma que no pudiera moverse de ninguna manera, ¿cuánto valdrían la fuerza y el momento de reacción ejercidos por la articulación?

10 Péndulo compuesto

Se tiene un péndulo compuesto consistente en una barra de longitud H y masa M suspendida por un punto situado a una distancia b del centro de la barra (b < H / 2). Suponiendo que la barra se desvía un ángulo pequeño θ₀ respecto de la vertical y a partir de ahí se suelta:

1. Determine el periodo de oscilación de la barra
2. Calcule la fuerza ejercida sobre el punto de anclaje cuando la barra pasa por la vertical en su oscilación.

11 Máquina de Atwood con polea pesada

Dos masas m₁ y m₂ están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa. Esta cuerda pasa por una polea de masa M, que se puede modelar como un cilindro de radio R. La polea no tiene rozamiento que le impida girar en torno a su eje. Determine la aceleración con la que se mueven las masas, las tensiones en cada tramo de la cuerda, así como la fuerza en el punto de anclaje de la polea.

12 Deslizamiento y rodadura de un disco

Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa M y radio R. Inicialmente el disco no gira, sino que se desliza con velocidad v₀. Si el coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ, ¿cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar? Estudie cómo cambian durante el proceso las siguientes magnitudes:

1. Velocidad del centro del disco.
2. Velocidad del punto superior del disco.
3. Energía cinética de traslación del disco.
4. Energía cinética de rotación.
5. Energía cinética total.

¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio R? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio R?

13 Rotación de un patinador

Un patinador sobre hielo, que pesa 70 kg y mide 180 cm gira uniformemente con sus brazos pegados verticalmente a su cuerpo, con un periodo de 1 s por vuelta. Si ahora levanta sus brazos y los extiende completamente, ¿cuál será su nuevo periodo de rotación? Haga una estimación del resultado, justificando las aproximaciones efectuadas.

Estime igualmente el trabajo necesario para efectuar esta maniobra.

14 Rotores desequilibrados

Se tiene un rotor formado por dos masas iguales, de valor m situadas en los extremos de una barra ideal (sin masa) de longitud H. Cuando este rotor está equilibrado gira en torno a un eje perpendicular a la barra y que pasa por su centro. Este eje está anclado en dos rodamientos situados a una distancia h del centro de la barra (uno por encima y otro por debajo de ella).

Calcule las fuerzas horizontales que el rotor produce sobre los rodamientos cuando gira con velocidad angular constante ω en torno al eje si:

1. Es horizontal pero se encuentra descentrado de forma que el eje no pasa por el centro de la barra, sino a una distancia b de éste.
2. Está centrado pero la barra está inclinada respecto a la horizontal un ángulo β

Desprecie el efecto del peso.

        

15 Rodadura por una pendiente

En lo alto de un plano inclinado de altura $h$ y con una cierta pendiente se encuentran los siguientes objetos

• Una superficie cilíndrica hueca
• Un cilindro macizo
• Una superficie esférica hueca
• Una esfera maciza

Si se sueltan a la vez desde el extremo superior del plano, ¿dependerá el orden de llegada de la masa y el radio de cada uno? ¿con qué rapidez del CM llega cada uno al punto más bajo del plano? ¿en qué orden llegarán y cuanto tarda cada uno en llegar? Si además se suelta un bloque que desliza sin rozamiento por el plano, ¿llegará antes o después que los objetos rodantes? ¿Cuánto?

16 Fuerzas de frenado de un automóvil

Un coche tiene una masa y distancia entre ejes frena con una aceleración de . Si su centro de masas se encuentra a mitad de camino entre los dos ejes y a 90 cm de altura y las fuerzas de rozamiento en cada rueda son proporcionales a las fuerzas normales que se ejerce sobre cada una, ¿en cuál de los dos ejes se ejerce una mayor fuerza al frenar? ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre cada eje?

17 Vuelco de un camión

Un camión de mudanzas va cargado de forma que su centro de gravedad se encuentra a 3.0 m del suelo. Si la distancia entre ruedas del camión es de 2.40 m, ¿cuál es la máxima velocidad con la que puede tomar una rotonda de 20 m de radio sin volcar? ¿Cuál es el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento estático con el suelo para que el camión no derrape?

18 Movimiento de una barra apoyada

En el mismo sistema del problema “Equilibrio de una barra apoyada”, considérese el caso en que no hay rozamiento ni con la pared ni con el suelo. Si la barra se encuentra inicialmente en la posición vertical y por una pequeña perturbación comienza a deslizarse resbalando por el suelo y la pared:

1. ¿Cuál es la ecuación de movimiento para el ángulo $\theta$ que forma la barra con la pared?
2. ¿Cuánto valen las fuerzas que ejercen la pared y el suelo para cada posición de la barra?
3. ¿Llega a separarse en algún momento de la pared? ¿Para qué ángulo?

19 Vuelco en un plano inclinado

Se tiene un bloque en forma de prisma de altura h y base cuadrada de lado b, situado sobre un plano inclinado un ángulo β. Dos de los lados de la base son paralelos a la dirección de descenso del plano (y los otros dos son ortogonales). El coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) entre el bloque y el plano vale μ.

Determine el máximo valor de h para que el bloque no vuelque si

1. El coeficiente de rozamiento μ > tg(β).
2. El coeficiente de rozamiento μ < tg(β).

20 Dos masas unidas en un aro

Dos pequeñas masas iguales se encuentran ensartadas en un aro circular de radio (de masa despreciable). Las masas están unidas entre sí por una varilla rígida de longitud y masa despreciable. La masa m₁ se mueve en todo momento con rapidez .

1. Empleando el sistema de ejes de la figura en el que el eje OX es ortogonal a la varilla, determine las posiciones, velocidades y aceleraciones de ambas masas y del centro de masas del sistema.
2. Calcule la velocidad angular del sistema de dos masas.
3. Halle el momento cinético y la energía cinética del sistema respecto al centro del aro y respecto al centro de masas.
4. Calcule la fuerza que el aro ejerce sobre cada una de las masas. Determine la resultante y el momento resultante de estas fuerzas respecto al centro del anillo y respecto al centro de masas.

21 Dimensiones del Mundo Anillo

En la novela de Larry Niven Mundo Anillo se describe un mundo artificial consistente en un anillo sólido que gira en torno a una estrella similar al Sol. El Mundo Anillo tiene un radio de 153 Gm y la gravedad aparente en su superficie interior es de 9.73 m/s². La anchura del anillo es de 1.60 Gm. El material de que está hecho (denominado scrith) tiene un espesor medio de 30 m siendo la masa total del Mundo Anillo 2.1×10²⁷kg. Con esta información, determine:

1. La velocidad angular del mundo anillo.
2. Su periodo orbital.
3. La velocidad lineal de su superficie.
4. Su momento de inercia.
5. Su momento cinético.
6. Su energía cinética.
7. La densidad de masa del scrith.