Momento de inercia de un sólido en L

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sólido en forma de L de un metal homogéneo, siendo h la longitud de los brazos y M su masa total. Calcule el momento de inercia del sólido respecto a un eje perpendicular al plano de la L y que pasa por un punto del interior del cuadrado de lado h que define. ¿En qué punto es mínimo este momento de inercia?

2 Momento de inercia general

Para hallar el momento de inercia del sólido completo, lo consideramos como compuesto de dos varillas 1 y 2, siendo la 1 la horizontal y la 2 la vertical, cuyos momentos hallamos por separado, de forma que

$I = I_1+I_2\,$

Para hallar el momento de inercia de la varilla “1” respecto a un punto cualquiera aplicamos el teorema de Steiner

$I_1 = I_{1C}+M_1d_1^2\,$

siendo $I 1 C$ el momento de inercia de la varilla respecto a un eje paralelo pero que pasa por su centro de masas y $d$ la distancia entre el eje original y el paralelo.

En este caso, estamos considerando un eje perpendicular a la varilla, por lo que el momento respecto a su centro de masas es

$I_{1C} = \frac{M_1 h^2}{12}=\frac{Mh^2}{24}$

donde hemos aplicado que $M 1 = M / 2$

La distancia entre los ejes paralelos la hallamos considerando que el centro de masas de la varilla 1 se encuentra en

$\vec{r}_{C1}= \frac{h}{2}\vec{\imath}$

(empleando el sistema de ejes que tiene el origen de coordenadas en la esquina de la L y los ejes X e Y a lo largo de sus brazos). El punto por el que pasa el eje respecto al cual deseamos hallar el momento de inercia es un punto genérico

$\vec{r}=x_0\vec{\imath}+y_0\vec{\jmath}$

con lo que el cuadrado de la distancia al centro de la varilla mide

$d_1^2 = \left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2 + y_0^2$

y el momento de inercia de la primera varilla vale

$I_1=\frac{Mh^2}{24}+\frac{M}{2}\left( \left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2 + y_0^2\right)$

El de la segunda es idéntico, cambiando la posición de $C 1$ por la de $C 2$

$I_2=\frac{Mh^2}{24}+\frac{M}{2}\left(x_0^2+\left(y_0-\frac{h}{2}\right)^2\right)$

Sumando los dos obtenemos el momento de inercia total

$I = \frac{Mh^2}{12}+\frac{M}{2}\left(\left(x_0-\frac{h}{2}\right)^2+x_0^2+\left(y_0-\frac{h}{2}\right)^2+y_0^2\right)$

Desarrollando los cuadrados queda

$I = M\left(x_0^2 -\frac{h}{2}x_0+y_0^2-\frac{h}{2}y_0+\frac{h^2}{3}\right)$

Resulta una expresión simétrica en las dos coordenadas y tal que en $x 0 = y 0 = 0$ (la esquina de la L) vale $M h 2 / 3$ , como corresponde al momento de inercia de varillas alrededor de su extremo.

3 Momento de inercia mínimo

Podemos hallar el valor mínimo del momento de inercia derivando. Sin embargo, no es necesario. El resultado ha sido una expresión cuadrática en $x 0$ e $y 0$ (lo que se denomina una cónica). Podemos escribirla en una forma más fácilmente manejable si completamos cuadrados. Sumando y restando dos veces $h 2 / 16$ se reduce a

$I = M\left(\left(x_0-\frac{h}{4}\right)^2 + \left(y_0-\frac{h}{4}\right)^2 + \frac{5h^2}{24}\right)$

Esta expresión nos da directamente la posición del valor mínimo y cuánto vale éste. Puesto que se trata de una suma de cuadrados (siempre positivos), el valor mínimo se alcanza cuando se anulen todos los que se pueda. Esto ocurre para

$x_0 = \frac{h}{4}\qquad y_0=\frac{h}{4}$

siendo el valor mínimo del momento de inercia el correspondiente a anular los dos primeros sumandos:

$I_\mathrm{min}=\frac{5Mh^2}{24}$

La posición en que se alcanza el mínimo momento de inercia es justamente la del centro de masas del sólido (de nuevo, como consecuencia del teorema de Steiner), por lo que este método sirve para determinar el centro de masas de un sólido.

En este caso el centro de masas ni se halla en el vértice, ni en el centro del cuadrado, sino en el punto medio entre los respectivos centros de masas de las dos varillas. Este centro también se puede localizar empleando argumentos de simetría

Momento de inercia de un sólido en L

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3 Momento de inercia mínimo

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