Momento de inercia de sólidos cilíndricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Superficie cilíndrica
3 Cilindro macizo
4 Corona cilíndrica
- 4.1 Por integración
- 4.2 Por superposición

1 Enunciado

Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea:

Una superficie cilíndrica hueca, de masa M, radio R y altura H.
Un cilindro macizo, de masa M, radio R y altura H.
Una corona cilíndrica de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂, con altura H

En todos los casos, el momento de inercia debe hallarse respecto al eje del cilindro.

2 Superficie cilíndrica

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la cantidad

$I = \sum_i m_i R_i^2\,$

donde $R i$ es la distancia de la masa $m i$ respecto al eje en cuestión. En el caso de una distribución continua, la suma se transforma en la integral correspondiente

$I = \int_M R^2\,\mathrm{d}m$

En el caso de una superficie cilíndrica de radio $R$ , todos los puntos se hallan a la misma distancia del eje, por lo que R es una constante y puede salir de la integral, quedando simplemente

$I = R^2\int_M\mathrm{d}m = M R^2\,$

3 Cilindro macizo

En un cilindro macizo no todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje. Podemos agruparlos en coronas cilíndricas de radios crecientes.

Si $r$ es el radio de una de las capas, su momento de inercia diferencial será el de una superficie cilíndrica

$\mathrm{d}I = \mathrm{d}M\,r^2$

El diferencial de masa depende del radio que se tome. Cuanto mayor sea $r$ , mayor será la masa, por lo que debe tenerse en cuenta a la hora de integrar. La masa de cada capa será el producto de la densidad por el volumen

$\mathrm{d}M = \rho\,\mathrm{d}V$

La densidad de masa, por tratarse de un sólido homogéneo, es igual a la masa total dividida por el volumen total

$\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 H}$

mientras que el diferencial de volumen es el de una fina capa de radio $r$ , espesor $d r$ y altura $H$ . Este volumen es el producto del área por el espesor

$\mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}r = 2\pi r H\,\mathrm{d}r$

Esto nos da el diferencial de masa

$\mathrm{d}M=\rho\,\mathrm{d}V=\frac{M}{\pi R^2H}(2\pi\,r\,H\,\mathrm{d}r) = \frac{2M\,r\,\mathrm{d}r}{R^2}$

el de momento de inercia

$\mathrm{d}I =r^2\,\mathrm{d}M=\frac{2M\,r^3\,\mathrm{d}r}{R^2}$

y el momento de inercia total

$I = \frac{2M}{R^2}\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = \frac{1}{2}MR^2$

Vemos que a igualdad de masa y de radio, el momento de inercia del cilindro hueco es el doble que el de la superficie cilíndrica, por estar la masa más concentrada en el radio exterior.

4 Corona cilíndrica

4.1 Por integración

Podemos hallar el momento de inercia de manera análoga que en el caso del cilindro macizo, cambiando los límites de integración, que ahora, en lugar de ir de 0 a $R$ , van de $R 1$ a $R 2$ .

$I = \frac{M}{V}\int_{R_1}^{R_2} r^2(2\pi r H)\,\mathrm{d}r=\frac{M}{V}\left(2\pi H\right)\left(\frac{R_2^4}{4}-\frac{R_1^4}{4}\right) = \frac{M \pi H (R_2^4-R_1^4)}{2V}$

El volumen total de esta corona es la diferencia entre dos cilindros macizos (también puede calcularse mediante la integral correspondiente)

$V = \pi R_2^2 H - \pi R_1^2H\,$

lo que nos da el momento de inercia

$I = \frac{M\pi H(R_2^4-R_1^4)}{2\pi H (R_2^2-R_1^2)} = \frac{M(R_2^2+R_1^2)}{2}$

Este resultado contiene a muchos otros como casos particulares:

Superficie cilíndrica: Tiene $R 1 = R 2 = R$ y queda

$I = MR^2\,$

Anillo circular: Es un caso particular del anterior, pues el resultado no depende de la altura del cilindro

$I = MR^2\,$

Cilindro macizo: Hacemos $R 1 = 0$ , $R 2 = R$ y resulta

$I = \frac{1}{2}MR^2\,$

Disco circular: Es un caso particular del anterior

$I = \frac{1}{2}MR^2\,$

4.2 Por superposición

El momento de inercia de una corona cilíndrica también se puede hallar empleando el principio de superposición. Consideramos la corona cilíndrica como compuesta de dos cilindros macizos, uno con masa positiva y el otro con masa negativa, como en un problema de centro de masas.