Problemas de Dinámica del punto (G.I.A.)

De Laplace

Contenido 1 Dinámica del Punto (I) 2 Asociación de muelles en serie y en paralelo 3 Sistema equivalente a dos resortes alineados 4 Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles 5 Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa 6 Equilibrio de una partícula sobre una hélice 7 Muelle en un cuadrilatero 8 Partícula vinculada, en equilibrio y con dos resortes no alineados 9 Equilibrio de partícula y punto sin masa insertados en cuadrilátero vertical 10 Dinámica del Punto (II) 11 Fuerza unidireccional 12 Partícula en el campo gravitatorio terrestre 13 Muelle vertical 14 Partícula ensartada en un aro circular 15 Partícula deslizando sobre un disco 16 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle 17 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte 18 Cuestión sobre teoremas de conservación 19 Partícula disparada en el interior de un aro 20 Partícula en un pozo de potencial 21 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante 22 Partícula en tubo con resortes 23 Partícula sometida a la acción de dos muelles 24 Ecuación del movimiento armónico simple 25 Bloque sobre plano en movimiento 26 Barra conectada a un deslizador

1 Dinámica del Punto (I)

2 Asociación de muelles en serie y en paralelo

Determine constante recuperadora equivalente de un sistema formado por dos muelles de constantes k₁ y k₂ cuando, (a) los muelles están conectados en paralelo y (b) los muelles están conectados en serie.

 

 

 

3 Sistema equivalente a dos resortes alineados

Una partícula pesada P de masa m, se halla en equilibrio por la acción de dos resortes, uno de constante recuperadora K₁ y longitud natural l₁, y otro de constante recuperadora K₂ y longitud natural l₂, tales que K₁l₁ = K₂l₂. El primer resorte tiene un extremo conectado a P y el otro a un punto fijo O; el segundo resorte se conecta a la partícula y a un punto fijo A, separado de O por una distancia d. En la situación de equilibrio, los puntos O, P y A están alineados en la dirección y el sentido de (gravedad). ¿Cuáles deben ser los valores de la constante K y la longitud natural l₀ de un único resorte que conectado al punto O, produzca la misma situación de equilibrio que los dos resortes?

 

4 Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles

Una partícula libre de masa m está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas k_A, k_B y k_C. Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son A( − a,0,0), B(a,0,0) y C(0,a,0).

1. Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
2. Considera las situaciones siguientes
   1. m = 0 y k_A = k_B = k_C = k
   2. m = 0 y
   3. k_A = k_B = k_C = k y m > > ka / g.

5 Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa

Un punto material M de peso P está obligado a permanecer en la superficie de una esfera de radio R y centro O. Además, M es atraído por un punto fijo A del ecuador de la superficie esférica, debido a la existencia de un resorte elástico ideal, de longitud natural nula y de constante recuperadora , que conecta ambos puntos. Determina las posiciones de equilibrio del punto material M, y la fuerza de reacción vincular en ellas.

6 Equilibrio de una partícula sobre una hélice

Un punto material M, de peso P, está vinculado a la hélice Γ, definida en el sistema de referencia cartesiano OXYZ por la ecuación vectorial . Determina la posición de equilibrio estático del punto M si, además, este es atraído por el origen por una fuerza proporcional a la distancia entre ambos puntos, siendo k la constante de proporcionalidad.

7 Muelle en un cuadrilatero

En el sistema de la figura están marcadas cuatro posibles posiciones de la masa m, sometida a la acción de la gravedad, de un muelle de constante elástica k y longitud natural l₀ y ensartada en el cuadrilátero.

1. Si los vínculos son lisos, ¿cuál de las posiciones de la masa pueden ser de equilibrio?
2. ¿Y si son rugosos?

8 Partícula vinculada, en equilibrio y con dos resortes no alineados

El sistema de la figura está formado por dos barras fijas conectadas en el punto O y dirigidas, una en la dirección de la vertical gravitatoria OX, y otra en una dirección horizontal OY. Una partícula pesada P, de masa m, se halla ensartada en la barra vertical, pudiendo deslizar por ella sin rozamiento. Un segundo punto material A, cuya masa es despreciable, está obligado a moverse siempre en la barra horizontal. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₁ tiene conectados cada uno de sus extremos a dichos puntos móviles. Un segundo resorte de constante K₂ y longitud natural l₀ conecta la partícula sin masa A con el punto fijo O. Considerando que el rozamiento entre la barra horizontal y la partícula A es también despreciable, determine las posiciones que ocupan las partículas y las fuerzas de reacción vincular que actúan sobre ellas cuando ambas se encuentran en equilibrio.

9 Equilibrio de partícula y punto sin masa insertados en cuadrilátero vertical

Cuatro varillas de igual longitud d están dispuestas formando un cuadrado ODEC, contenido en el plano vertical OXY. Un resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₁conecta el vértice fijo C del cuadrilátero con un punto A de masa despreciable que puede desplazarse a lo largo de la varilla horizontal superior . Además, una partícula material B, cuya masa tiene un valor m está insertada en el lado vertical de manera que su movimiento está limitado a desplazamientos sobre dicha varilla. Un segundo resorte de longitud natural nula y constante recuperadora K₂ conecta la partícula B al punto A. Los valores de los parámetros del sistema son tales que K₂d > mg.

1. Considerando que los vínculos son perfectamente lisos, determine las posiciones de equilibrio de las partículas A y B.
2. Considérese ahora que, mientras que el vínculo en B sigue siendo liso, la partícula sin masa A está sometida a un vínculo rugoso cuya fuerza de rozamiento verifica las leyes del rozamiento seco. ¿Cuáles son las posiciones de equilibrio?

 

 

10 Dinámica del Punto (II)

11 Fuerza unidireccional

Una partícula de masa m está sometida a una fuerza constante . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

12 Partícula en el campo gravitatorio terrestre

Una partícula de masa m se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

1. , .
2. , .
3. , .

13 Muelle vertical

Se tiene un muelle vertical de constante K y longitud natural l₀. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, .

1. Se cuelga una masa m del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
2. Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia L, y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
3. Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?

Nota : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.

14 Partícula ensartada en un aro circular

Se tiene un aro circular de radio R. Engarzado en él hay una masa m que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.

1. Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo α de la figura.
2. Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial . Encuentra la función α(t) que describe el movimiento de la masa.
3. Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular Ω. Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo θ. ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

15 Partícula deslizando sobre un disco

Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio R que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determine

1. El punto en el que la partícula pierde contacto con el disco.
2. La velocidad con la que impacta contra el suelo.

 

 

16 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle

Una masa m se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica k y longitud natural l₀. La masa se encuentra a una altura h relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

1. Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto B).
2. ¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, k_min, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
3. Supón ahora que entre los puntos A y B hay una región de longitud d en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es μ, ¿cuál es el nuevo valor mínimo de k en el apartado anterior?
4. Supongamos que k > k_min. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto A y la altura a la que sube por la pendiente.
5. Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si , , , μ = 0.200, , .

17 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte

Una partícula material de masa m, se encuentra sobre una rampa de longitud indefinida cuya inclinación respecto del plano horizontal es α. El contacto entre la partícula y la rampa es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ. Partiendo del reposo en el punto más bajo de la rampa, O, la partícula asciende por ella empujada por un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k.

1. Obtenga la expresión que determina a qué distancia del extremo O se detiene la partícula.
2. ¿A qué distancia su velocidad será máxima?

18 Cuestión sobre teoremas de conservación

Una pequeña bolita P, de masa m, está insertada en un aro de centro O y radio R, fijado en el plano horizontal OXY. La partícula está sometida a la acción de la gravedad (en la dirección perpendicular al plano, ) y a la de un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene un extremo fijo en el punto de circunferencia de coordenadas A( − R / 2,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro es despreciable. Para el sistema descrito, responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. ¿Se conserva la energía mecánica?
2. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto O?
3. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto A?

19 Partícula disparada en el interior de un aro

Una partícula P de masa m se desplaza por la cara interior de un aro fijo de radio R y centro O dispuesto en el plano vertical OXY, de manera que la posición de la partícula viene determinada en cada instante por el correspondiente valor del ángulo θ indicado en la figura. En el instante inicial la partÍcula se encuentra en la posición θ(0) = − π / 2, tras ser lanzada por un disparador consistente en un resorte de longitud natural l₀ y constante recuperadora k, que previamente había sido comprimido una distancia d.

Nada impide que la partícula pueda separarse del aro, pero cuando están en contacto el rozamiento entre ambos cuerpos es despreciable. Por tanto, la correspondiente fuerza de reacción vincular puede expresarse en la base de las coordenadas polares , como .

1. Diagrama de fuerzas y descripción.
2. Ecuaciones de movimiento.
3. Energía mecánica del sistema.
4. Momento cinético de la partícula.

20 Partícula en un pozo de potencial

Una partícula P, de masa m, realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva del eje OX. La partícula está sometida a una fuerza que tiene la forma

siendo k una constante conocida.

1. Determina la energía potencial de la partícula en función de su coordenada x (considerando que es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en x = L) y represéntala gráficamente.
2. Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo en el punto P₀ de coordenada x = 2L, determina su energía mecánica.
3. ¿En qué otro punto (de la región x < L) la partícula se detiene momentáneamente (punto de retorno)? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar desde x = L a ese punto de retorno?

21 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme ω en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

1. Halla la ecuación diferencial que cumple la función r(t) sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
2. Comprueba que

es una solución de la ecuación para r(t).

1. Para esta solución particular
   1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
   2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de r = b a r = 2b.
   3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

22 Partícula en tubo con resortes

Un tubo estrecho AB de longitud 2l y de masa despreciable, contenido en todo instante en el plano horizontal fijo OXY, gira con velocidad angular constante alrededor de su centro O, de manera que el ángulo que forma el tubo con la dirección OX verifica la ley horaria . En el interior del tubo hay una partícula P de masa m, que puede moverse sin rozamiento apreciable. Sendos resortes ideales, ambos de longitud natural nula y constante recuperadora de valor k, conectan la partícula con los extremos A y B del tubo.

1. Escriba las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función de la variable r y sus derivadas, utilizando la base de las coordenadas polares . Exprese también las distintas fuerzas que actúan sobre la partícula.
2. Aplique las leyes de la Dinámica para formular las ecuaciones de movimiento del sistema. A la vista de la ecuación diferencial que describe el comportamiento de r(t), indique el tipo de movimiento que realiza la partícula a lo largo del tubo para los siguientes casos: (a) ; (b) , y (c) , siendo .
3. Considérese la situación particular en que el valor de la velocidad angular es -caso (b)-, y en el instante inicial (t = 0) la partícula se halla en el punto O con una velocidad cuyo módulo vale v₀. Obtenga la ley horaria para la variable r(t), así como la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partícula.
4. Obtenga la expresión horaria E(t) para la energía mecánica de la partícula ¿Se conserva E(t)? ¿Por qué?

23 Partícula sometida a la acción de dos muelles

Una partícula P, de masa m, se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante k y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son C( − d,0) y D(d,0), respectivamente

1. Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
2. Si las condiciones iniciales son y , encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
3. Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, , de la partícula P respecto al origen de coordenadas O, así como su energía mecánica, E. ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

24 Ecuación del movimiento armónico simple

Dada la ecuación ecuación de movimiento

1. Demuestra que la función

es solución. Empleando relaciones trigonométricas, deduce la relación entre las constantes {A,φ} y las constantes {a,b} de la solución general

Expresa A y φ en función de la posición y la velocidad iniciales, x₀ y v₀.

1. Calcula la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
2. Demuestra que la cantidad

no depende del tiempo. ?`Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?

1. Demuestra que x = e^jωt, con , la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestra la relación

25 Bloque sobre plano en movimiento

Una partícula puntual de masa m se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es θ(t) = ωt. Sobre la masa actúa además la gravedad . El contacto entre la partícula y el plano es liso.

1. Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, ρ(t), así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular .
2. Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes α y K, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de α y K?
3. Si en el instante inicial tenemos ρ(0) = 0 y encuentra cuánto valen las constantes A y B de la expresión anterior.
4. ¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.

26 Barra conectada a un deslizador

Un cuerpo pesado de masa m, que puede considerarse como una partícula material P, está unido a un extremo de una barra de longitud l y masa despreciable que tiene su otro extremo articulado en un punto fijo O. Partícula y barra están obligadas a permanecer en el plano vertical OXY , tal que el eje OX coincide con la dirección y el sentido de la acción de la gravedad. Además, hay un deslizador puntual D, de masa despreciable que puede moverse insertado en otra barra fija horizontal OA, también de longitud l y coincidente con el eje OX. Dos resortes idénticos de longitud natural nula y constante recuperadora k conectan dicho deslizador con la partícula P y con el extremo A de la barra horizontal fija. En primera aproximación, puede despreciarse el rozamiento entre el deslizador D y la barra OA.

1. Determine la posición del deslizador en función del angulo θ que forma la barra OP con la vertical gravitatoria, y obtenga la expresión de las fuerzas reales y vinculares que actúan sobre la partícula P en función de dicho angulo.
2. ¿Qué relación deben verificar los par ́metros k, l y m para que el sistema se encuentre en equilibrio en la posición dada por θ = π / 6?
3. Si se considera que entre el deslizador y la barra existe rozamiento, caracterizado por un coeficiente de valor conocido μ, determine las expresiones matemáticas (inecuaciones) que establecen el rango de las posiciones de equilibrio del sistema.
4. Obtenga las expresiones de las energías cinética y potencial de P en función de la variable geométrica θ y su derivada temporal.